结论：劳动合同到期没有和员工续签，但员工一直在工作且持续一年，员工是可以索要赔偿的。具体赔偿情况需根据未续签的原因、用人单位是否维持或提高了劳动条件等因素综合判断。

一、用人单位需支付赔偿的情况

1. 未续签书面劳动合同的双倍工资赔偿

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定同样适用于劳动合同期满后，用人单位未及时续签的情况。
   • 具体计算：若劳动合同到期后，用人单位未与劳动者续签书面劳动合同，从合同期满的次月起至满一年的前一日，用人单位应支付双倍工资赔偿。例如，若原合同工资为每月5000元，则用人单位需额外支付5000元/月×11个月=55000元作为赔偿。

2. 经济补偿金（如适用）

   • 若用人单位在劳动合同到期后未续签，且劳动者继续工作满一年后，用人单位提出终止劳动关系，需按照劳动者在本单位的工作年限支付经济补偿。
   • 具体计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。例如，若劳动者在用人单位工作满一年，月工资为5000元，则用人单位需支付5000元作为经济补偿。

3. 视为无固定期限劳动合同

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为用人单位与劳动者已订立无固定期限劳动合同。这意味着，即使双方没有签订书面合同，但劳动者已连续工作满一年，其权益将受到无固定期限劳动合同的保护。若用人单位此时无故解雇劳动者，劳动者有权要求更高的经济补偿。

二、用人单位无需支付赔偿的情况

1. 劳动者拒绝续签

   • 若用人单位维持或者提高原来劳动条件，劳动者拒绝续签劳动合同的，用人单位无需支付经济补偿。

2. 劳动者存在过错

   • 如劳动者严重违反用人单位规章制度、严重失职营私舞弊给用人单位造成重大损害、被依法追究刑事责任等情形，用人单位可以不续签劳动合同且无需支付赔偿。

三、申请赔偿的步骤与建议

1. 收集证据

   • 劳动者应收集能够证明自己在原合同期满后仍在单位工作的证据，如考勤记录、工资条、工作证等。同时，保留好与原单位沟通续签事宜的相关记录，以备不时之需。

2. 与单位协商

   • 在收集了足够的证据后，劳动者可以尝试与单位进行协商，要求单位支付未续签劳动合同期间的双倍工资赔偿和经济补偿（如适用）。

3. 申请劳动仲裁

   • 若协商无果，劳动者可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付相应的赔偿。在申请劳动仲裁时，劳动者需提交相关证据和仲裁申请书，并按照仲裁委员会的要求参与仲裁程序。

总结与建议：劳动合同到期未续签且员工仍在工作的情况下，赔偿问题需根据具体情况确定。关键在于判断未续签的责任归属以及用人单位是否维持或提高了劳动条件。劳动者在面对此类问题时，应了解自己的合法权益，并积极收集证据以支持自己的主张。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。