公司有权对普通小诊所开具的疾病证明提出质疑，甚至在某些情况下不认可该证明。以下从不同角度为你详细分析：
法律角度
证明的合法性与有效性：
- 根据相关法律法规，医疗证明应当由具备相应资质的医疗机构出具。普通小诊所如果具备合法的医疗执业资格，并且其开具的证明符合医疗规范，那么从法律上讲，这份证明是具有一定法律效力的。
- 然而，如果公司怀疑小诊所的资质或证明的真实性，公司有权要求员工提供更权威、更正规的医疗证明，如由大型医院或专业医疗机构出具的证明。
工伤认定的标准：
- 在工伤认定中，医疗证明是重要的证据之一。但工伤认定不仅仅依赖于医疗证明，还需要考虑事故发生的经过、员工的职责范围、是否在工作时间内等因素。
- 如果员工自身疾病与工作无直接关联，且未在工作过程中因工作原因导致疾病加重或复发，那么即使有小诊所的证明，也可能难以被认定为工伤。
实际操作角度
公司的质疑权：
- 公司作为用人单位，对员工的健康状况和工伤情况有合理的关注权。如果公司对小诊所的证明存疑，可以要求员工提供进一步的医疗证据或进行复查。
- 公司也可以自行联系专业医疗机构对员工进行健康检查，以确认员工的实际健康状况。
员工的权益保护：
- 员工有权选择就医的医疗机构，但如果选择的是普通小诊所，应当确保该诊所具备合法的医疗执业资格，并且开具的证明真实、有效。
- 如果公司不认可小诊所的证明，员工可以与公司进行沟通协商，提供其他证据支持自己的主张，如其他医疗机构的证明、病历记录等。
建议与后果
建议：
- 对于员工而言，如果因自身疾病需要请假或申请工伤赔偿，建议尽量选择具备合法资质和较高信誉的医疗机构进行就诊和开具证明。
- 对于公司而言，如果怀疑员工提供的医疗证明的真实性或有效性，应当通过合法途径进行核实和查证，避免侵犯员工的合法权益。
可能的法律后果：
- 如果公司无正当理由不认可员工提供的合法医疗证明，并因此拒绝员工的合理请求（如请假、工伤赔偿等），员工有权向劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 如果员工提供的医疗证明存在虚假或伪造的情况，员工可能面临法律责任，如被解除劳动合同、承担赔偿责任等。
总结来说，公司有权对普通小诊所开具的疾病证明提出质疑或不认可，但应当基于合法、合理的理由，并通过合法途径进行核实和查证。员工也应当选择合法的医疗机构就诊和开具证明，以维护自己的合法权益。如果你有进一步的法律问题或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询。