结论：您可以申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。
分析：
未签劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，即使您一直居家办公，只要您为公司提供了劳动，公司就有义务与您签订书面劳动合同，否则将面临支付双倍工资的法律责任。
被公司解雇的权益保护：
- 如果公司无正当理由解雇您，您有权要求公司支付经济补偿金。经济补偿金的计算通常依据您在公司的工作年限和月工资水平来确定。此外，如果公司未提前通知您解雇事宜，您还可能有权要求公司支付额外的代通知金。
劳动仲裁的申请：
- 鉴于您未与公司签订劳动合同且被解雇的情况，您完全有权向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，您需要准备相关证据，如工作记录、工资单、解雇通知等，以证明您与公司之间的劳动关系以及公司未履行相关法律义务的事实。
建议：
- 收集证据：在申请劳动仲裁前，务必收集好所有能证明您与公司之间存在劳动关系以及公司未履行相关法律义务的证据。这些证据将对您在仲裁过程中的主张起到关键作用。
- 咨询专业律师：虽然我可以为您提供一些基本的法律建议，但劳动仲裁案件往往涉及复杂的法律问题和证据规则。因此，我建议您在申请劳动仲裁前咨询一位专业律师，以便更全面地了解您的权益和可能的法律后果。
- 及时申请仲裁：劳动仲裁有一定的时效限制，通常为一年。因此，我建议您在发现公司存在违法行为后尽快申请劳动仲裁，以免错过时效限制。
后续行动：
- 如果您决定申请劳动仲裁，请按照当地劳动仲裁委员会的要求准备相关材料并提交申请。
- 在仲裁过程中，积极配合仲裁委员会的调查和调解工作，以便尽快解决纠纷。
- 如果对仲裁结果不满意，您还可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。
如果您有任何进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请随时向我咨询。