结论前置：未签订劳动合同的劳动者在职期间仍然有权申请劳动仲裁，只要能够证明与用人单位之间存在事实劳动关系。

一、事实劳动关系的证明

在未签订书面劳动合同的情况下，劳动者可以通过收集以下证据来证明与用人单位之间的事实劳动关系：

1. 工资支付凭证：如工资条、银行工资流水等，这些记录能够直接反映劳动者从用人单位获得劳动报酬的情况。
2. 工作证件与身份标识：如工作证、服务证、上岗证等，这些证件通常包含劳动者的职务、身份及用人单位的信息。
3. 考勤与排班记录：打卡记录、排班表等可以证明劳动者按照用人单位的要求提供了劳动，并受其管理。
4. 社会保险缴费记录：若用人单位为劳动者缴纳了社会保险，则此记录也是证明劳动关系的重要依据。
5. 同事证言与其他辅助证据：同事的证言以及劳动者代表用人单位签订的文件、招聘登记表、报名表等，均可作为辅助证据。

二、劳动仲裁的申请流程

劳动者在确认与用人单位存在事实劳动关系后，可按照以下流程申请劳动仲裁：

1. 准备材料：撰写劳动仲裁申请书，明确申请人与被申请人的基本信息、仲裁请求、事实与理由，并整理好相关证据材料。
2. 提交申请：将仲裁申请书及相关证据提交至有管辖权的劳动争议仲裁委员会，通常是合同履行地或用人单位注册地的仲裁机构。
3. 等待受理与开庭：仲裁委员会将对申请进行审查，决定是否受理。一旦受理，将安排开庭并通知双方当事人。劳动者需按时出席庭审，陈述事实与主张。

三、劳动仲裁中的赔偿请求

在劳动仲裁中，劳动者可以提出以下赔偿请求：

1. 双倍工资赔偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资（最多支持11个月）。
2. 补缴社会保险：要求用人单位补缴在职期间未缴纳的社会保险费用。
3. 经济补偿金：若因用人单位未签劳动合同导致劳动者离职（虽然在职期间也可主张，但离职时更常见），劳动者可以要求用人单位按工作年限支付经济补偿金。不过，在职期间若因用人单位违法行为（如未提供劳动条件、未及时足额支付劳动报酬等）导致劳动者被迫解除劳动合同的，同样可主张经济补偿金。

四、注意事项

1. 仲裁时效：劳动者申请劳动仲裁的时效一般为一年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。因此，劳动者应及时行使权利，避免超过时效。
2. 证据保留：在申请劳动仲裁前，劳动者应充分收集和保留与劳动关系相关的所有证据，以确保仲裁请求的成立。
3. 法律程序：劳动者应了解并遵循劳动仲裁的法律程序，包括申请书的撰写、证据的提交、庭审的出席等，以确保自身权益得到有效维护。

举例说明：假设小张在一家公司工作了6个月，但一直未签订书面劳动合同。小张可以收集工资条、银行流水、工作证等证据来证明与公司的劳动关系。然后，小张可以撰写劳动仲裁申请书，要求公司支付5个月的双倍工资差额（因为第一个月不计算双倍工资），并补缴社会保险。最后，小张将申请书及相关证据提交至当地的劳动争议仲裁委员会，等待受理与开庭。

综上所述，即使未签订书面劳动合同，劳动者在职期间仍可通过证明事实劳动关系来申请劳动仲裁，并依法要求相应的赔偿与补偿。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。