结论前置：上班三年半没签劳动合同，您完全可以申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。这包括确认与用人单位存在无固定期限劳动合同关系、要求补缴社保、主张经济补偿等。不过，关于双倍工资的主张，可能因超过仲裁时效而无法得到全额支持，但具体还需结合实际情况判断。
法律分析与权益说明：
- 确认无固定期限劳动合同关系：
根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条，用人单位自用工之日起满一年不与劳动者订立书面劳动合同的，视为已订立无固定期限劳动合同。因此，您工作三年半未签合同，法律上已视为订立了无固定期限劳动合同，您有权要求确认这一关系。
- 双倍工资的主张：
依据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应向劳动者每月支付二倍的工资。但需注意，根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。所以，对于入职后第二个月到第十二个月的双倍工资，若您在入职满一年后的一年内未提出主张，该部分诉求可能无法得到支持。不过，若您能证明在此期间曾向用人单位主张过权利，或存在其他时效中断、中止的情形，仍有可能争取到部分双倍工资。
- 补缴社保：
如果用人单位未依法为您缴纳社会保险，您有权要求用人单位补缴在职期间的社会保险费，以确保自身的养老、医疗等保障不受损害。
- 经济补偿：
若用人单位存在违法解除劳动关系等情形，您还可以主张相应的经济补偿或赔偿金。经济补偿的标准按您在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资。赔偿金则为经济补偿标准的二倍。
申请仲裁的流程与准备：
- 准备材料：
您需要准备仲裁申请书（详细写明双方信息、仲裁请求、事实和理由等）、身份证明、用人单位的工商登记信息以及相关证据材料，如工资条、工作证、考勤记录、同事证言等，以证明与用人单位存在劳动关系及工作时长。
- 提交申请：
向当地有管辖权的劳动争议仲裁委员会提交仲裁申请，并咨询具体的程序和所需材料，以确保申请的顺利进行。
- 仲裁受理与开庭：
仲裁委员会在收到申请后，会在规定时间内决定是否受理，并通知您。若受理，仲裁委会安排开庭时间，您与用人单位双方将进行举证、质证、辩论等环节，以查明事实，分清责任。
- 作出裁决：
仲裁庭根据审理情况，依法作出仲裁裁决。您可根据裁决结果来决定是否进一步采取法律行动，如向法院起诉等。
建议与提醒：
- 在申请仲裁前，建议您尽可能收集全面、有力的证据来证明自己的主张，特别是关于双倍工资时效中断、中止的证据。
- 考虑到法律程序的复杂性和时效性，建议您在提起仲裁前仔细梳理事实，明确自己的诉求，以便更好地制定仲裁策略。
- 若您对法律程序或证据准备存在疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。
总之，上班三年半没签劳动合同，您完全有权申请劳动仲裁来维护自己的合法权益。希望以上分析能对您有所帮助，如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。