在员工工作期间被第三方打伤的情况下，赔偿责任的承担是一个涉及多方主体和法律规定的问题。以下是对此问题的详细解答：
一、立即行动与证据收集
报警与就医：
- 员工应立即报警，确保自己的安全和健康，并前往医院就医。报警记录将作为后续法律程序的重要证据，医疗记录则是计算赔偿金额的重要依据。
证据收集：
- 员工应收集现场监控、目击者证言、医疗记录等关键证据。这些证据在后续的赔偿协商或诉讼中将起到至关重要的作用。
二、赔偿责任主体与求偿路径
向第三方主张赔偿：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条，第三方作为直接侵权人，因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
- 赔偿项目：包括医疗费、误工费、护理费、交通费、住院伙食补助费、营养费、残疾赔偿金（如构成伤残）以及精神损害抚慰金等。具体计算方式需依据相关法律法规和实际情况确定。
- 协商与诉讼：员工可以与第三方进行赔偿协商，若无法达成一致，则可通过法律程序向法院提起诉讼。
向雇主主张赔偿（雇主责任与追偿权）：
- 法律依据：雇员在从事雇佣活动中遭受人身损害，雇主应当承担赔偿责任。但在此情况下，由于伤害是由第三方造成的，雇主在承担赔偿责任后，有权向第三方追偿。
- 操作方式：员工可以选择请求雇主进行赔偿，雇主赔偿后可以向第三方追偿。这为员工提供了一种额外的赔偿途径。
申请工伤认定并享受工伤保险待遇：
- 法律依据：根据《工伤保险条例》第十四条第三项，因履行工作职责受到暴力等意外伤害的，应当认定为工伤。
- 赔偿项目：包括治疗工伤的医疗费用和康复费用、住院伙食补助费、到统筹地区以外就医的交通食宿费、安装配置伤残辅助器具所需费用（如适用）以及生活护理费（如适用）等。
- 申请流程：员工应向当地劳动行政部门提交相关材料，并按照规定的流程进行工伤认定申请。一旦认定为工伤，即可享受工伤保险提供的各项待遇。
三、双重赔偿规则与注意事项
双重赔偿规则：
- 在我国大部分地区，员工在获得工伤保险赔付的同时，仍有权要求第三方按照民事侵权责任进行赔偿。但需要注意的是，医疗费等实际支出费用通常不能重复获得赔偿。具体情况可能因地区法律政策不同而存在差异，员工应咨询当地法律专业人士以获取准确信息。
注意事项：
- 保留证据：无论选择哪种赔偿方式，员工都要保留好所有相关的证据和文件。
- 咨询专业律师：具体的赔偿项目和金额会根据实际情况而有所不同。因此，在处理此类问题时，建议员工咨询专业的律师或法律机构，以便更准确地了解自己的权益和赔偿途径。
- 积极配合调查：员工应积极配合相关部门和机构的调查和处理工作，以确保自己的权益得到最大程度的保障。
综上所述，员工在工作期间被第三方打伤时，应立即采取行动保护自己的安全和健康，并收集相关证据。随后，可以根据实际情况选择向第三方主张赔偿、向雇主主张赔偿或申请工伤认定来寻求赔偿。在整个过程中，务必保留好所有证据和文件，并咨询专业律师以获取准确的法律指导。