结论：十级工伤员工申请劳动仲裁请求解除劳动合同关系并支付经济补偿金，是否支持需分情况讨论，具体如下：
一、若员工以用人单位存在过错为由解除劳动合同
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第三十八条，用人单位存在未按照劳动合同约定提供劳动保护或者劳动条件、未及时足额支付劳动报酬、未依法为劳动者缴纳社会保险费等情形的，劳动者可以解除劳动合同。
- 同时，根据《劳动合同法》第四十六条，劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
分析：
- 若十级工伤员工因用人单位存在上述过错（如未提供必要的劳动保护、未支付工伤待遇等）而提出解除劳动合同，其请求支付经济补偿金是合理的，劳动仲裁机构或法院通常会予以支持。
二、若员工主动提出解除劳动合同，且用人单位不存在过错
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第三十七条，劳动者提前三十日以书面形式通知用人单位，可以解除劳动合同。但此情形下，用人单位无需支付经济补偿金。
- 同时，对于工伤员工，除非存在用人单位过错或双方协商一致等情形，否则员工主动解除劳动合同通常不享受经济补偿。
分析：
- 若十级工伤员工主动提出解除劳动合同，且用人单位不存在过错（如已依法支付工伤待遇、提供必要的劳动保护等），则员工请求支付经济补偿金缺乏法律依据，劳动仲裁机构或法院通常不会支持。
三、特殊情况：双方协商一致解除劳动合同
法律依据：
- 根据《劳动合同法》第四十六条，用人单位向劳动者提出解除劳动合同并与劳动者协商一致解除劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。但此条款主要适用于用人单位提出解除的情形。
- 然而，在实务中，若双方协商一致解除劳动合同，且约定由用人单位支付经济补偿金，该约定不违反法律、行政法规的强制性规定，应认定为有效。
分析：
- 若十级工伤员工与用人单位协商一致解除劳动合同，并明确约定由用人单位支付经济补偿金，则该请求可以得到支持。但需注意，此情形下的经济补偿金支付并非基于法律强制规定，而是基于双方约定。
建议与总结
- 对于员工：在提出解除劳动合同并请求支付经济补偿金前，应仔细审查用人单位是否存在过错，并收集相关证据以支持自己的主张。若用人单位不存在过错，主动解除劳动合同可能无法获得经济补偿。
- 对于用人单位：应依法履行对工伤员工的义务，包括支付工伤待遇、提供必要的劳动保护等，以避免因过错导致员工解除劳动合同并请求支付经济补偿金。
- 总结：十级工伤员工申请劳动仲裁请求解除劳动合同关系并支付经济补偿金是否支持，需根据具体情况判断。若员工以用人单位存在过错为由解除劳动合同，通常可以得到支持；若员工主动提出解除且用人单位不存在过错，则通常无法得到支持；若双方协商一致解除并约定支付经济补偿金，则按约定执行。
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