针对您提出的“全民事业单位合同制员工到期不续聘应该怎么按规定办理”的问题，以下是我为您提供的详细解答：
首先，我们需要明确的是，全民事业单位合同制员工与单位之间的劳动关系，主要受到《中华人民共和国劳动合同法》的规范。当劳动合同到期，单位决定不再续聘时，应当遵循以下规定和程序：
一、经济补偿
根据《劳动合同法》第四十四条、第四十六条、第四十七条的规定，劳动合同期满的，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿的标准是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
二、特殊情形处理
女职工“三期”保护：如果合同到期时，女职工处于孕期、产期或哺乳期，根据《劳动合同法》第四十二条、第四十五条的规定，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。因此，在这种情况下，单位不得因合同到期而直接解聘女职工，否则将构成违法解除劳动合同。
连续订立固定期限劳动合同：根据《劳动合同法》第十四条的规定，如果用人单位与劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有劳动合同法第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形，劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。如果单位在符合这一条件的情况下决定不续聘，也可能面临法律风险。
三、办理流程
提前通知：单位应当在劳动合同到期前，提前与劳动者进行沟通，明确告知是否续聘。如果决定不续聘，应当说明原因，并告知劳动者将按照法律规定支付经济补偿。
支付经济补偿：在劳动合同到期后，单位应当按照法律规定向劳动者支付经济补偿。支付方式可以是现金、银行转账等，具体方式应当与劳动者协商一致。
办理离职手续：劳动者在收到经济补偿后，应当与单位办理离职手续，包括交接工作、归还单位财物、办理社保转移等。
保留相关证据：在整个过程中，劳动者应当保留好与单位的沟通记录、经济补偿支付凭证、离职手续办理证明等相关证据，以备不时之需。
四、争议解决
如果劳动者对单位的决定有异议，或者认为单位未按照法律规定支付经济补偿，可以通过以下途径解决争议：
与单位协商：首先可以尝试与单位进行协商，寻求双方都能接受的解决方案。
申请劳动仲裁：如果协商不成，可以向当地的劳动仲裁机构申请仲裁，由仲裁机构对争议进行裁决。
提起诉讼：如果对仲裁结果不满意，还可以向法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
综上所述，全民事业单位合同制员工到期不续聘时，单位应当遵循法律规定支付经济补偿，并按照规定的流程办理离职手续。如果劳动者对单位的决定有异议，可以通过协商、仲裁或诉讼等途径解决争议。希望这些解答能够帮助到您。