当您面临事业单位聘用合同单位不续签的情况时，您可以按照以下步骤来处理，以确保您的权益得到妥善保障：
一、了解法律依据
首先，您需要明确的是，根据《中华人民共和国劳动合同法》以及《事业单位人事管理条例》的相关规定，事业单位与工作人员订立的聘用合同期满后，单位有权选择不续签。但这一决定必须遵循法律法规，并兼顾双方的权益。
二、处理流程
提前通知：
- 事业单位应在合同期满前的一定时间内（通常是30日）书面通知您是否续签合同。如果单位决定不续签，他们会明确告知您，并说明不续签的理由。
工作交接：
- 在合同期满后，您需要按照单位的要求办理工作交接手续。这包括归还办公用品、资料等，以确保工作的连续性和稳定性。
经济补偿：
- 根据《劳动合同法》的规定，除非单位维持或提高劳动合同约定条件续订劳动合同而您不同意续订，否则单位在终止固定期限劳动合同时，应向您支付经济补偿。
- 经济补偿的计算方式是：按您在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
出具证明：
- 单位在解除或终止劳动合同时，应为您出具相关证明，并在十五日内为您办理档案和社会保险关系转移手续。
争议解决：
- 如果您对单位不续签合同的决定有异议，或者认为单位在处理过程中存在违法行为，您可以先与单位进行协商。
- 如果协商不成，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
- 对仲裁结果不服的，您还可以向人民法院提起诉讼。
三、特殊情形处理
无固定期限劳动合同：
- 如果您在事业单位连续工作满十年，且距法定退休年龄不足十年，或者您已经连续订立二次固定期限劳动合同且没有法定不续签情形，您提出续订无固定期限劳动合同的，事业单位应当与您订立。
孕期、产期、哺乳期女职工：
- 如果您处于孕期、产期或哺乳期，即使合同期满，单位也不得随意解除劳动合同。您的合同应顺延至相应情形消失时终止。
四、注意事项
保留证据：
- 在整个处理过程中，您应保留好相关证据，如通知书、交接清单、工资条等。这些证据在后续可能出现的争议解决中非常重要。
沟通协商：
- 尽量与单位保持积极沟通，通过协商解决问题。这不仅可以避免不必要的法律纠纷，还有助于维护您与单位之间的良好关系。
综上所述，当事业单位聘用合同单位不续签时，您应了解相关法律法规，按照处理流程进行操作，并注意特殊情形的处理和保留证据等事项。希望这些信息能对您有所帮助。