学生请病假是否需要老师签字同意，这主要取决于学校的具体请假制度。不过，我可以根据一般情况和您提供的两所学校的请假制度，给您一个较为全面的解答。

一般情况：

在大多数学校，学生请病假通常需要遵循一定的流程，这往往包括向老师（通常是班主任）说明情况，并可能需要提供相关的医疗证明。老师会根据学生的实际情况和学校的规定，来决定是否批准请假，并可能需要在请假条上签字同意。

大城镇中心小学的情况：

根据大城镇中心小学的学生请销假制度，学生请病假确实需要办理书面请假手续，并且请病假需有班主任或医院的有效证明。这意味着，在大城镇中心小学，学生请病假时，班主任的签字同意是必要的，或者至少需要提供医院的证明来支持请假申请。

池州市第八中学的情况：

池州市第八中学的学生请假若干规定也明确指出，所有病假必须有实证材料证明。对于半天之内临时或突发的短期病假，须有家长（监护人）书面回复说明；而半天以上的中长期病假，则须持有医院或诊所的诊断证明（病历）等。虽然这些规定没有直接说明老师必须签字同意，但提供了医疗证明的要求，并且在实际操作中，老师通常会根据这些证明和学生的实际情况来决定是否批准请假，并可能需要在请假条上签署意见。

综合解答：

因此，虽然不同学校的具体规定可能有所不同，但一般来说，学生请病假时，向老师说明情况并提供相关证明是必要的。老师会根据学校的规定和学生的实际情况来决定是否批准请假，并可能需要在请假条上签字同意。所以，在大多数情况下，学生请病假是需要老师签字同意的，或者至少需要提供医疗证明来支持请假申请。

为了确保请假的顺利进行，建议您提前了解并遵守所在学校的请假制度，准备好必要的证明材料，并及时与老师沟通说明情况。