结论前置：公司违法辞退员工时，是否需要补偿未签合同的双倍工资，取决于具体情况。若公司自用工之日起超过一个月未与员工签订书面劳动合同，则通常需支付双倍工资；但若员工自身拒绝签订劳动合同，且公司有确凿证据证明这一点，则公司无需支付双倍工资。以下是对此问题的详细分析：

一、未签合同的法律责任

根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这一规定旨在惩罚用人单位的不规范用工行为，并督促其及时与劳动者签订劳动合同，以保障劳动者的合法权益。支付双倍工资的最长时间限制一般为11个月，即从用工之日起的第二个月至满一年的前一日。

二、违法辞退的法律后果

若公司违法辞退员工，即无正当理由或违反法律规定辞退员工，则构成违法解除劳动合同。此时，员工除可主张自入职第二个月起的双倍工资差额外，还可依据《劳动合同法》第八十七条要求公司按经济补偿标准的二倍支付赔偿金。经济补偿的计算方式依据员工在公司工作的年限确定，具体为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。

三、具体情形分析

1. 未签合同且违法辞退：

   • 若公司不仅未与员工签订劳动合同，还违法辞退员工，则员工有权要求公司支付双倍工资差额及赔偿金。例如，员工于2024年1月1日入职，公司一直未与其签订劳动合同，并于2024年6月1日违法辞退员工。此时，员工有权要求公司支付2024年2月1日至2024年5月31日期间的双倍工资差额，以及按经济补偿标准的二倍支付的赔偿金。

2. 未签合同但合法辞退：

   • 若公司能证明员工存在严重违反规章制度等符合《劳动合同法》第三十九条规定的行为，则公司辞退员工无需支付赔偿金，但仍需支付因未签合同而产生的双倍工资。例如，员工因严重失职给公司造成重大损害，公司依法辞退员工，但此前一直未与员工签订劳动合同。此时，公司仍需支付双倍工资差额，但无需支付赔偿金。

3. 员工拒绝签订合同：

   • 如员工自身不愿签订劳动合同，且公司有充分证据支持这一点（如员工书面拒绝签订合同的声明、公司多次催促签订合同的记录等），则公司无需承担双倍工资责任。但公司应确保留存相关证据，以备不时之需。

四、员工维权注意事项

• 员工在主张双倍工资时，需收集能证明与公司存在劳动关系的证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录、同事证言等。
• 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，自当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，员工应及时行使自己的权利，避免错过仲裁时效。

总结与建议：公司应严格遵守法律法规，确保与员工签订书面劳动合同，以避免不必要的法律纠纷和经济损失。同时，员工也应了解自己的合法权益，并在必要时采取适当措施维护自身权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。