结论前置：在签了三次固定期限劳动合同后，劳动者是否能要求公司赔偿，需根据具体情况判断。若公司存在违法或违约行为，劳动者有权主张相应赔偿；若劳动者主动选择或存在过错，则可能无法主张赔偿。

一、公司违法或违约情形下的赔偿

1. 公司不续签劳动合同

   • 情形描述：第三次合同到期后，公司不与劳动者续签劳动合同。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
   • 赔偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，赔偿金为经济补偿的二倍。
   • 示例：若劳动者在公司工作了5年，月工资为10000元，则经济补偿为5个月工资，即50000元；赔偿金为经济补偿的二倍，即100000元。

2. 公司续签固定期限劳动合同

   • 情形描述：劳动者明确要求签订无固定期限劳动合同，但公司仍签订固定期限劳动合同。
   • 法律依据：根据《劳动合同法》的相关规定，此时劳动者可向用人单位主张每月支付二倍的工资，最多支付11个月。
   • 示例：若劳动者月工资为10000元，且公司持续违法签订固定期限劳动合同11个月，则劳动者可主张的赔偿为11个月工资，即110000元。

二、劳动者主动选择或存在过错情形下的不可主张赔偿

1. 劳动者主动选择

   • 情形描述：劳动者在第三次续签合同时主动提出订立固定期限劳动合同。
   • 法律后果：公司按照劳动者要求签订固定期限劳动合同，不存在违法行为，劳动者不能要求赔偿。

2. 劳动者存在过错

   • 情形描述：劳动者存在严重违反公司规章制度、失职造成重大损害、患病或非因工负伤无法从事工作等《劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形。
   • 法律后果：公司有权不签订无固定期限劳动合同，且无需支付赔偿。

三、其他赔偿情形

除了与无固定期限劳动合同相关的赔偿情形外，如果合同中约定的条款违反法律法规（如工资低于最低工资标准、工作时间超过法定时间等），或者公司在合同履行过程中违反了合同约定（如未按时支付工资、未提供约定的福利待遇等），劳动者也可以要求公司按照法律规定进行补偿或调整，并可能获得相应的赔偿。

四、总结与建议

综上所述，劳动者在签了三次固定期限劳动合同后是否能要求公司赔偿，需根据具体情况判断。如果认为自己的权益受到侵犯，建议直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议和帮助。同时，劳动者在签订劳动合同时应仔细阅读合同条款，确保自身权益得到保障。在后续的工作过程中，也要留意公司是否存在违法或违约行为，以便及时维护自己的合法权益。