结论：根据您的情况，私企应支付您未签劳动合同的双倍工资差额以及可能的经济补偿，具体计算方式为：双倍工资差额为4000元/月×10个月=40000元，若因未签合同导致离职，还可能涉及经济补偿，具体数额需根据离职原因和实际情况确定。
分析说明：
双倍工资差额：
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 计算方式：您已工作11个月，未签劳动合同，因此，私企应支付您10个月的双倍工资差额（第一个月不计算在内，因为法律给予用人单位一个月的宽限期来签订合同）。即4000元/月×10个月=40000元。
经济补偿：
- 可能情况：如果因私企未与您签订劳动合同，导致您选择离职，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，您可能还有权获得经济补偿。
- 计算方式：经济补偿的具体数额取决于您离职的原因和实际情况。如果是因为私企未签劳动合同且未依法缴纳社会保险等违法行为导致您离职，那么经济补偿通常按照您在单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向您支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向您支付半个月工资的经济补偿。但在此情况下，由于您未提及离职原因，且主要咨询的是未签劳动合同的赔偿，因此经济补偿的具体数额需根据实际情况确定。如果仅因未签合同而离职，且未涉及其他违法行为，经济补偿可能不直接适用，但您仍有权要求双倍工资差额。
特别提醒：
- 在处理此类劳动纠纷时，建议您首先尝试与私企进行协商，看是否能够达成和解并获取应得的赔偿。
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，保留好相关证据，如工资条、工作证、考勤记录等，以便在需要时提供证明。
后续行动建议：
- 如果您对上述分析仍有疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，提供更详细的法律建议和指导。