结论：老板以员工请假邮件未回复未处理为由辞退员工，这一行为是否合法需分情况讨论，关键在于员工请假是否符合公司规定流程、请假事由是否合理以及公司规章制度是否合法有效。

1. 若员工请假符合公司规定流程且事由合理

• 法律分析：根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位解除劳动合同应当有合法理由，并遵循法定程序。如果员工按照公司规定的请假流程提交了请假申请，且请假事由合理（如病假、事假等），老板未回复邮件并不构成拒绝请假的有效理由。在此情况下，老板以此为由辞退员工，可能构成违法解除劳动合同。
• 法律后果：员工有权要求公司继续履行劳动合同，或者要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍，经济补偿金根据员工在公司的工作年限和月工资水平计算。
• 建议：员工可以收集请假邮件、公司规章制度、工作记录等证据，向劳动仲裁机构申请仲裁，维护自己的合法权益。

2. 若员工请假未遵循公司规定流程或事由不合理

• 法律分析：如果员工未按照公司规定的请假流程提交申请，或者请假事由不合理（如无故旷工、虚假请假等），老板有权根据公司规章制度对员工进行处理。但即便如此，老板在辞退员工时也需要遵循法定程序，如提前通知、支付经济补偿金等。如果老板未遵循法定程序，仍然可能构成违法解除劳动合同。
• 法律后果：如果老板合法解除劳动合同，员工可能无法获得赔偿金或经济补偿金。但如果老板违法解除劳动合同，员工仍然有权要求公司支付赔偿金。
• 建议：员工应首先反思自己的请假行为是否符合公司规定和法律法规要求。如果认为自己被违法辞退，可以收集相关证据，向劳动仲裁机构申请仲裁。同时，员工也可以与公司协商解决纠纷，寻求双方都能接受的解决方案。

3. 关于公司规章制度的合法性

• 法律分析：公司规章制度是公司管理员工的重要依据，但必须符合法律法规的规定。如果公司规章制度中关于请假和辞退的规定与法律法规相抵触，那么这些规定将被视为无效。因此，在判断老板辞退员工是否合法时，还需要审查公司规章制度的合法性。
• 建议：员工在维护自己权益时，可以要求公司提供规章制度文本，并仔细审查其中关于请假和辞退的规定是否合法。如果发现规章制度存在违法内容，可以向劳动监察部门投诉举报。

总结与进一步行动建议：

老板以员工请假邮件未回复未处理为由辞退员工是否合法，取决于员工请假是否符合公司规定流程、请假事由是否合理以及公司规章制度是否合法有效。在处理此类纠纷时，员工应首先收集相关证据，如请假邮件、公司规章制度、工作记录等。然后，根据具体情况选择向劳动仲裁机构申请仲裁或与公司协商解决纠纷。如果员工对法律程序不熟悉或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供专业的法律建议。