结论：您可以投诉该私人老板，并且根据具体情况，您可能还有权要求老板支付相应的工资、经济补偿金等。

分析如下：

1. 关于投诉的可行性：

   • 尽管您与私人老板之间没有签订书面的劳动合同，但根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系。因此，您与老板之间已经形成了事实上的劳动关系。
   • 老板辞退您，且未支付相应工资或经济补偿，这违反了劳动法的相关规定。您有权向当地的劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。

2. 关于工资支付：

   • 根据《中华人民共和国劳动法》的规定，工资应当以货币形式按月支付给劳动者本人，不得克扣或者无故拖欠。因此，您有权要求老板支付您工作期间的工资。
   • 如果老板拒绝支付，您可以在投诉或申请劳动仲裁时，一并提出工资支付的请求。

3. 关于经济补偿金：

   • 如果老板无正当理由辞退您，且未提前通知您，根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，您可能还有权要求老板支付经济补偿金。
   • 经济补偿金的具体数额，通常根据您在老板处工作的年限、工资水平等因素来确定。

4. 投诉或申请劳动仲裁的流程：

   • 您可以先尝试与老板协商解决，如果协商无果，再向当地的劳动监察部门投诉，或者向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
   • 在投诉或申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据，如工作记录、工资条、与老板的沟通记录等，以证明您与老板之间存在劳动关系，以及老板存在违法行为。

建议：

• 在处理此类纠纷时，建议您保留好所有与工作相关的证据，以便在需要时提供证明。
• 如果您对法律程序不熟悉，或者担心自己的权益无法得到充分保障，可以考虑咨询或聘请一位专业的律师来协助您处理此事。

后续行动：

• 如果您决定投诉或申请劳动仲裁，请尽快行动，以免超过法定的时效期限。
• 在处理过程中，保持与劳动监察部门或劳动争议仲裁委员会的沟通，及时了解案件的进展情况。

如果您有任何进一步的疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。