针对行政机关不履行法定职责的情况，当事人既可以选择先申请行政复议，也可以选择直接提起行政诉讼，但具体选择需根据法律规定和实际情况来确定。以下是对此问题的详细分析：
一、一般原则：自主选择
- 自主选择权：根据《中华人民共和国行政诉讼法》第四十四条的规定，对属于人民法院受案范围的行政案件，公民、法人或者其他组织可以先向行政机关申请复议，对复议决定不服的，再向人民法院提起诉讼；也可以直接向人民法院提起诉讼。这意味着，在一般情况下，当事人拥有选择权，可以根据自己的意愿和实际情况，决定是先复议还是直接诉讼。
二、特殊情况：复议前置
- 复议前置的情形：然而，也存在某些特定情形，当事人必须先申请行政复议，对复议决定不服后，才能向法院起诉。这些情形主要包括：
- 公民、法人或其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯其已经依法取得的土地、矿藏、水流、森林、山岭、草原、荒地、滩涂、海域等自然资源的所有权或使用权的。在这种情况下，由于涉及自然资源的权属争议，通常需要先通过行政复议程序进行解决。
- 纳税争议中，纳税人、扣缴义务人、纳税担保人同税务机关在纳税上发生争议时，必须先依照税务机关的纳税决定缴纳税款及滞纳金或提供相应担保，然后申请行政复议。这是为了确保税收的及时征收和税收秩序的稳定。
三、实践建议
合理选择救济途径：当事人在面临行政机关不履行法定职责的情况时，应仔细研究相关法律法规，明确自己所涉事项是否属于上述特殊情况。如果属于复议前置的情形，那么必须先申请行政复议；如果不属于，则可以根据自己的意愿和实际情况，选择先复议还是直接诉讼。
注意时效限制：无论是行政复议还是行政诉讼，都有一定的时效限制。因此，当事人在决定采取何种救济途径时，应及时了解相关法律规定，并在规定的期限内提出申请或起诉，以免错过维权时机。例如，行政复议的申请期限通常为知道该具体行政行为之日起六十日内，而行政诉讼的起诉期限则可能因具体情况而有所不同，但一般也有明确的期限规定。
四、法律后果
- 不同选择的可能后果：如果当事人选择了先复议，那么对复议决定不服的，可以再向人民法院提起诉讼。如果复议机关维持了原行政行为，那么当事人可以以复议机关和原行政机关为共同被告提起诉讼；如果复议机关改变了原行政行为，那么当事人可以以复议机关为被告提起诉讼。如果当事人选择了直接诉讼，那么人民法院将对原行政行为的合法性进行审查，并作出相应的判决。
综上所述，针对行政机关不履行法定职责的情况，当事人应根据法律规定和实际情况，合理选择救济途径，并在规定时限内采取行动，以有效维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。