结论：根据您描述的情况，您有可能可以申请赔偿，但具体能否成功申请以及赔偿的金额，需要结合更多细节和证据来判断。

分析说明：

1. 合同签订时间与劳动关系建立时间的关系：

   • 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。您3月19号入职，理论上从该日起即与用人单位建立了劳动关系。
   • 合同上写的开始日期为10月，而实际您入职时间为3月，这明显存在不一致。这种不一致可能构成用人单位未及时与劳动者签订书面劳动合同的事实。

2. 未及时签订劳动合同的法律后果：

   • 根据《劳动合同法》第八十二条：“用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。”
   • 在您的情况下，如果用人单位未能提供充分证据证明是您原因导致合同签订延迟，且从3月19日至10月期间未与您签订书面劳动合同，那么用人单位可能需要支付您这段时间的二倍工资差额。

3. 申请赔偿的考虑因素：

   • 证据收集：您需要收集能够证明您实际入职时间、工作表现、工资发放记录等相关证据，以支持您的主张。
   • 用人单位的抗辩：用人单位可能会提出各种抗辩理由，如合同签订延迟是由于您的原因、双方已就合同签订时间达成口头协议等。您需要准备相应的反驳证据。
   • 赔偿金额的计算：如果成功申请赔偿，赔偿金额将根据您未签订劳动合同期间的工资水平、工作时长等因素来确定。具体计算公式可能涉及您该期间的月工资乘以未签订合同的月数（但不超过11个月，因为法律规定的是“超过一个月不满一年”）。

行动建议：

• 与用人单位协商：首先，您可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够就赔偿问题达成一致。
• 申请劳动仲裁：如果协商无果，您可以向当地劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据和申请书，要求用人单位支付未签订劳动合同期间的二倍工资差额。
• 寻求法律援助：在申请劳动仲裁过程中，如果您需要法律帮助或咨询，可以随时向我提问，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。

后续思考：

• 在处理此类纠纷时，证据的收集和保存至关重要。因此，建议您在未来的工作中，注意保留与劳动关系相关的所有证据，如工作证、工资条、考勤记录等。
• 同时，也建议您在签订劳动合同时，仔细阅读合同条款，确保合同内容与双方的实际约定一致，以避免类似的纠纷发生。