核心前提：保洁公司与医院的保洁服务合同到期，医院更换了新的保洁公司，原保洁员面临与原保洁公司或新保洁公司的劳动关系处理问题。

结论与详细分析：

1. 若保洁员与原保洁公司签订有劳动合同：

   • 合同自然终止：由于原保洁公司与医院的合同到期且未续签，原保洁员与原保洁公司之间的劳动合同，基于“劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行”的情形，可视为因客观原因无法继续履行而自然终止（若原合同无特殊约定且未续签）。但更严谨的处理方式是，原保洁公司应依据《劳动合同法》第四十条第三项与保洁员协商变更劳动合同内容（如调整工作地点、岗位等），若协商不成，则提前三十日以书面形式通知保洁员或额外支付一个月工资后，解除劳动合同，并依法支付经济补偿。
   • 经济补偿：根据《劳动合同法》第四十六条、第四十七条，原保洁公司应按保洁员在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向保洁员支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向保洁员支付半个月工资的经济补偿。
   • 新公司接收情况：若新保洁公司愿意接收原保洁员，且保洁员也同意，则原保洁公司无需支付经济补偿，但应协助办理劳动关系转移手续。此时，保洁员与新保洁公司建立新的劳动关系，应签订新的劳动合同。

2. 若保洁员直接与医院签订有劳动合同或属于劳务派遣关系：

   • 直接与医院签约：若保洁员直接与医院签订有劳动合同，则医院更换保洁公司不影响保洁员与医院的劳动关系。医院应继续履行与保洁员的劳动合同，或依法与保洁员协商解除劳动合同并支付经济补偿。
   • 劳务派遣关系：若保洁员属于劳务派遣至医院的，则保洁员与劳务派遣公司存在劳动关系。医院更换保洁公司（即更换劳务派遣公司）时，原劳务派遣公司应依法与保洁员处理劳动关系，如协商解除并支付经济补偿（若因医院不再使用该劳务派遣服务导致派遣协议终止，进而影响保洁员劳动合同履行的）。新劳务派遣公司若接收保洁员，则应重新签订劳动合同。

3. 保洁员主动解除劳动关系的情况：

   • 若保洁员因个人原因不愿继续在原保洁公司或新保洁公司工作，可依据《劳动合同法》第三十七条，提前三十日以书面形式通知原保洁公司（或新公司，若已建立劳动关系）解除劳动合同，无需支付违约金（除非存在服务期约定且违反服务期约定）。但此种情况下，保洁员通常无法获得经济补偿。

建议行动：

• 保洁员应首先明确自己与哪方（原保洁公司、医院或劳务派遣公司）存在劳动关系，并查看劳动合同或相关协议中的具体条款。
• 根据实际情况，与原保洁公司、医院或新保洁公司进行沟通，了解各方意图及处理方案。
• 若对处理方案有异议或无法达成一致，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，以维护自身合法权益。

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