结论：您在没有签订劳动合同的情况下工作了5个月并被辞退，根据相关法律法规，您有权要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及可能的经济补偿金。

详细分析：

1. 未签订劳动合同的双倍工资差额：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 应用情况：您已经工作了5个月，而用人单位未与您签订劳动合同，因此，您有权要求用人单位支付从第二个月起至第五个月（共4个月）的双倍工资差额。即，除了您已经获得的正常工资外，用人单位还需额外支付您这4个月的工资作为补偿。

2. 经济补偿金：

   • 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条和第四十七条的规定，用人单位因特定原因（如劳动者不能胜任工作、客观情况发生重大变化等，但需符合法定情形）解除劳动合同的，应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
   • 应用情况：虽然您未签订劳动合同，但您已经实际为用人单位提供了劳动，且被辞退。若用人单位的辞退行为不符合法定情形（如无正当理由、未提前通知等），则您有权要求用人单位支付经济补偿金。由于您工作了5个月，因此，您有权要求用人单位支付半个月工资作为经济补偿金。但需注意，若用人单位的辞退行为合法（如您存在严重违反用人单位规章制度等情形），则可能无需支付经济补偿金。

3. 维权途径：

   • 协商：首先，您可以尝试与用人单位进行协商，要求其支付未签订劳动合同的双倍工资差额以及经济补偿金。
   • 劳动仲裁：若协商无果，您可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，要求用人单位支付相应的赔偿。
   • 诉讼：若对劳动仲裁结果不满，您还可以向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。

建议：

• 在维权过程中，请务必保留好相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等），以证明您与用人单位之间存在劳动关系以及您的工作时间和工资水平。
• 若您对法律程序不熟悉或担心自己的权益无法得到充分保障，建议及时咨询专业律师（即向我咨询，我专注于合同纠纷、婚姻家庭领域，能够为您提供专业的法律帮助），以便更好地维护自己的合法权益。