结论：当月是否存在劳动关系不能一概而论，需结合具体证据和法律规定综合判断，劳动仲裁的认定结果并非绝对，社保投诉成功也不必然证明劳动关系存在。以下分情况详细说明：
情况一：劳动仲裁认定当月不存在劳动关系，但社保投诉成功
劳动仲裁的认定依据
劳动仲裁委员会在裁决劳动关系是否存在时，主要依据《关于确立劳动关系有关事项的通知》（劳社部发〔2005〕12号），审查双方是否符合劳动关系的核心特征：
- 主体资格：用人单位和劳动者是否符合法律、法规规定的主体资格；
- 劳动管理：用人单位依法制定的各项劳动规章制度是否适用于劳动者，劳动者是否受用人单位的劳动管理；
- 业务组成：劳动者提供的劳动是否是用人单位业务的组成部分。
若仲裁委认为上述条件不满足（如未实际提供劳动、未接受管理、劳动内容非用人单位业务等），可能认定劳动关系不存在。
社保投诉成功的可能原因
社保投诉成功通常意味着用人单位存在未依法缴纳社保的违法行为，但社保缴纳与劳动关系存在并非完全等同：
- 部分地区社保政策允许“挂靠代缴”（如以灵活就业人员身份参保），此时可能无实际劳动关系；
- 用人单位可能因管理疏忽或故意隐瞒，为非劳动关系人员缴纳社保（如临时用工未签合同但误缴社保）；
- 社保部门在投诉处理中，可能仅审查社保缴纳记录，未深入调查劳动关系实质。
因此，社保投诉成功不能直接反推劳动关系存在。
综合判断建议
若对仲裁结果不服，可在收到裁决书后15日内向法院起诉，提交以下证据证明劳动关系：
- 工资支付记录（如银行流水、转账备注）；
- 工作证、考勤记录、工作群聊天记录等证明接受管理的证据；
- 劳动合同（如有）、工作安排通知、任务完成记录等；
- 同事证言、工作成果（如文件、设计稿等）。
法院将根据证据链完整性，重新审查劳动关系是否存在。
情况二：劳动仲裁认定当月不存在劳动关系，且社保投诉未成功
社保投诉未成功的含义
若社保部门以“无劳动关系”为由驳回投诉，通常意味着用人单位提供了反证（如劳动合同解除证明、工资支付记录终止等），或社保部门调查后认为无劳动关系。
劳动关系认定的关键点
此时需重点审查：
- 双方是否签订书面劳动合同？若未签订，是否符合事实劳动关系的认定条件？
- 劳动者是否实际提供了劳动？若未提供（如未到岗、未完成工作任务），可能影响劳动关系认定；
- 用人单位是否支付了劳动报酬？若未支付且无合理理由，可能被认定为未建立劳动关系。
后续行动建议
- 若认为仲裁裁决错误，可向法院起诉，并补充提交证据（如前述工资、考勤、工作记录等）；
- 若确实无劳动关系，可主张其他权益（如要求支付未签劳动合同的双倍工资差额、经济补偿等，需根据具体情形判断）。
总结
劳动关系是否存在需以事实为依据，以法律为准绳。劳动仲裁的认定结果具有法律效力，但若证据充分，可通过法院诉讼推翻。社保投诉成功仅能证明用人单位存在社保违法行为，不能直接证明劳动关系存在。如有疑问，可直接向我提供具体证据材料（如仲裁裁决书、社保投诉回执、工资记录等），我将进一步分析并给出针对性建议。