事业单位开除职工，若认为开除决定存在违法或不当之处，且符合仲裁受理范围，职工是可以申请仲裁和起诉的。以下是对此问题的详细分析：
一、仲裁途径
人事争议仲裁：
- 适用情形：如果事业单位与职工之间是通过人事聘用合同来规范关系，且单位开除职工的行为涉及违反人事聘用合同约定（如无正当理由违背合同条款、开除决定所依据的事实不成立或程序不合法等），职工可以向当地的人事争议仲裁机构申请仲裁。人事争议仲裁主要处理事业单位与其工作人员之间因解除人事关系、履行聘用合同发生的争议。
- 申请条件与程序：申请人需提交书面仲裁申请，并按被申请人人数提交副本。申请书应载明基本信息、仲裁请求、事实和理由、证据及来源等。如书写困难，可口头申请，由仲裁委员会记入笔录。
劳动争议仲裁：
- 适用情形：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二条，事业单位与劳动者之间因除名、辞退等发生的争议，属于劳动争议调解仲裁法的适用范围。若事业单位与职工之间形成的是劳动关系（如工勤岗位人员），且职工认为单位的开除决定侵害其合法权益（如违法解除劳动关系），可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 仲裁时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或应当知道其权利被侵害之日起计算。
- 仲裁结果：若仲裁委员会认定开除决定违法或不当，可能裁决恢复劳动关系、支付经济补偿金或赔偿金等；若认定开除决定合法合理，则驳回仲裁请求。
二、起诉途径
- 起诉条件：如果职工对仲裁结果不满意，或者认为仲裁机构未依法受理、处理其仲裁申请，可以在收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼；如果仲裁机构逾期未作出裁决，职工也可以直接向人民法院提起诉讼。
- 起诉程序：职工需准备起诉状，并按照被告人数提出副本，提交给有管辖权的人民法院。起诉状应载明原告和被告的基本信息、诉讼请求、事实和理由、证据和证据来源等。
三、特殊情况与不适用仲裁和起诉的情况
- 特殊情况：对于实行聘用制的事业单位人员，若与单位因履行聘用合同发生争议，一般先申请人事争议仲裁。但若争议同时涉及劳动权利义务，且符合劳动争议受案范围，也可申请劳动仲裁。
- 不适用仲裁和起诉的情况：如果开除决定是基于事业单位内部的行政处分等管理行为，且不涉及合同约定纠纷或劳动关系争议，可能不适用仲裁程序，而更多地通过事业单位内部的申诉等渠道解决。不过，这并不意味着职工完全无法寻求法律救济，如果职工认为内部申诉渠道无法有效解决问题，仍然可以咨询专业律师，探索其他可能的法律途径。
四、法律建议
- 仔细研究自身情况：职工在决定申请仲裁或起诉前，应仔细研究自身情况是否符合仲裁或起诉受理范围，以及开除决定是否存在违法或不当之处。
- 及时行使权利：职工应在规定的时效期间内按照法定程序和要求提出仲裁申请或起诉，以免丧失法律救济的机会。
- 寻求专业帮助：由于劳动法律关系复杂多变，职工在申请仲裁或起诉前，可以向我咨询，以便更好地维护自身合法权益。
综上所述，事业单位开除职工后，职工在符合一定条件下是可以申请仲裁和起诉的。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。