关于“事业单位不起诉单位能开除吗”的问题，我们可以从以下几个方面进行分析：

一、核心结论

事业单位在不起诉的情况下，是否开除员工取决于员工的具体行为、事业单位的规章制度以及相关法律法规的规定。

二、详细分析

1. 员工行为性质：

   • 若员工的行为严重触犯了事业单位的规章制度，或者给事业单位带来了巨大的经济损失以及恶劣的社会影响，即使未起诉，事业单位也有权利依据其内部规章制度做出开除的决定。
   • 若员工的行为性质较为轻微，并未明显违背事业单位规定，那么事业单位在权衡各种因素后，可能会选择采取其他措施，而非直接开除。

2. 事业单位规章制度：

   • 事业单位的内部规章制度是判断员工行为是否违规、是否应被开除的重要依据。若规章制度中明确规定了在某些情况下可以开除员工，那么事业单位在符合这些规定时，有权做出开除决定。
   • 若规章制度中未明确规定或规定不明确，事业单位在开除员工时需谨慎考虑，并确保其决策符合相关法律法规的规定。

3. 相关法律法规：

   • 根据《事业单位工作人员处分规定》等相关法律法规，事业单位在开除员工时需遵循一定的程序，并确保其决策具有合法性和正当性。
   • 若事业单位的开除决定违反了相关法律法规的规定，员工有权依法维护自己的合法权益。

三、特殊情况

• 在某些特殊情况下，如员工的行为虽然未构成犯罪，但严重违反了职业道德或行业规范，事业单位也可能依据其内部规章制度或行业规定做出开除决定。

四、总结与建议

综上所述，事业单位在不起诉的情况下是否能开除员工，取决于多种因素的综合考虑。若您面临此类问题，建议首先了解事业单位的规章制度和相关法律法规的规定，然后结合您的具体情况进行分析和判断。如有需要，您可以向我咨询具体的法律问题和解决方案。