事业单位员工与员工之间发生纠纷，或是员工与事业单位之间发生劳动纠纷时，通常应当先申请仲裁，对仲裁裁决不服的，再向人民法院提起诉讼。以下是对此结论的详细解释：

法律依据

根据《中华人民共和国劳动法》第七十九条：“劳动争议发生后，当事人可以向本单位劳动争议调解委员会申请调解；调解不成，当事人一方要求仲裁的，可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。当事人一方也可以直接向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁裁决不服的，可以向人民法院提起诉讼。”这一规定明确了劳动争议处理的“一调一裁两审”机制，即先调解（非必经程序）、再仲裁（必经程序）、最后诉讼（终局救济）。

具体流程

1. 申请仲裁：

   • 当事人在发生劳动争议后，若无法协商解决，应首先向劳动争议仲裁委员会提出书面仲裁申请。
   • 仲裁委员会在收到申请后，会进行审查，并在规定时间内决定是否受理。
   • 受理后，仲裁委员会将组织双方进行调解或仲裁审理。

2. 仲裁裁决：

   • 仲裁委员会根据事实和法律作出裁决。
   • 裁决书自送达之日起十五日内，若双方当事人均未提起诉讼，则裁决书发生法律效力。

3. 提起诉讼：

   • 若当事人对仲裁裁决不服，可以在收到裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。
   • 人民法院将对案件进行审理，并依法作出判决。

注意事项

1. 明确争议性质：事业单位员工之间的纠纷或员工与单位之间的劳动纠纷，需明确其性质是否属于劳动争议。若涉及人事关系的一些特殊问题，如基于行政隶属关系产生的人事管理争议，可能不属于劳动人事争议仲裁的范畴，而需通过其他法定途径解决。

2. 时效问题：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。超过仲裁时效期间未申请仲裁的，可能会丧失胜诉权。

3. 证据收集：在申请仲裁和提起诉讼前，当事人应充分收集相关证据以支持自己的主张，包括劳动合同、工资单、工作记录、证人证言等。

综上所述，事业单位员工与员工之间或员工与事业单位之间发生劳动纠纷时，应先申请仲裁，对仲裁裁决不服的，再向人民法院提起诉讼。这是处理此类纠纷的法定程序。