在金融借款合同中，若借款人死亡且第一顺位继承人书面放弃继承权，法院通常会根据以下情况处理：

1. 确认放弃继承权的法律效力
   法院首先会审查第一顺位继承人放弃继承权的书面声明是否符合法定形式要件（如是否公证、是否在法定期限内作出等）。若放弃行为合法有效，继承人将丧失对借款人遗产的继承权，法院不会强制其承担还款责任。

2. 以借款人遗产为限清偿债务
   根据《民法典》第1161条，继承人放弃继承的，法院将直接以借款人的遗产（如房产、存款、车辆等）清偿债务。若遗产足以覆盖债务，银行可申请强制执行遗产；若遗产不足，法院会终结执行程序，剩余债务因“人死债消”原则而消灭，银行无权要求继承人或其他人继续偿还。

3. 特殊情形下的处理

   • 遗产管理人制度：若借款人遗产无人管理，法院可能依申请或依职权指定遗产管理人，由管理人负责清理遗产并偿还债务（《民法典》第1145-1149条）。
     
   • 恶意放弃继承的追责：若继承人放弃继承权的行为损害债权人利益（如与债务人串通转移财产），法院可能认定放弃行为无效，并责令继承人在继承遗产实际价值范围内承担还款责任（《民法典》第1161条但书条款）。
     
   • 担保责任的独立性：若借款合同存在抵押、质押或保证等担保措施，银行可就担保物优先受偿，或要求保证人承担连带责任，不受继承人放弃继承的影响。

实务建议：银行在借款人死亡后，应及时向法院申请财产保全，查封、冻结借款人名下遗产，并同步起诉继承人（即使其放弃继承），以推动遗产清算程序。若您涉及此类纠纷，可进一步向我提供合同条款、遗产状况等细节，我将为您制定具体应对方案。