结论：劳动合同到期，公司开具《劳动合同到期不续签通知书》后，一般情况下不需要再额外开具解除或终止劳动合同的证明，但具体还需根据实际情况和当地规定来判断。

分析说明：

1. 通知书的作用：

   • 《劳动合同到期不续签通知书》是公司明确告知员工，双方劳动合同因到期而不再续签的书面文件。这份通知书本身已经具有了明确双方劳动关系终止（因合同到期）的效力。

2. 解除或终止劳动合同证明的必要性：

   • 在大多数情况下，如果《劳动合同到期不续签通知书》已经明确表达了双方劳动关系因合同到期而终止的意思，且员工也对此表示认可，那么公司就不需要再额外开具解除或终止劳动合同的证明。
   • 然而，如果员工对合同到期不续签有异议，或者需要这份证明来办理失业保险、领取经济补偿金等后续事宜，那么公司可能需要根据员工的要求或当地劳动部门的规定，开具相应的解除或终止劳动合同的证明。

3. 当地规定的影响：

   • 不同地区对于劳动合同终止后的手续办理可能有不同的规定。有些地区可能要求公司必须开具解除或终止劳动合同的证明，以便员工办理相关手续。
   • 因此，公司在处理这类问题时，最好先了解当地的具体规定，以确保合规操作。

法律建议：

• 对于公司：在开具《劳动合同到期不续签通知书》时，可以明确告知员工，如果需要解除或终止劳动合同的证明，可以随时向公司提出申请。同时，公司也应了解并遵守当地的相关规定，确保在需要时能够及时开具相应的证明。
• 对于员工：如果收到《劳动合同到期不续签通知书》后，需要办理失业保险、领取经济补偿金等后续事宜，且当地规定需要解除或终止劳动合同的证明，那么可以向公司提出申请，要求公司开具相应的证明。

可能后果：

• 如果公司未按照当地规定开具解除或终止劳动合同的证明，可能会面临劳动部门的处罚或员工的投诉。
• 如果员工因未获得解除或终止劳动合同的证明而无法办理相关手续，可能会因此遭受损失，并有可能向公司提出索赔。

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