如果法院判决对方道歉并恢复名誉，但对方拒绝执行，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：
申请强制执行：
- 法律依据：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，如果一方当事人不履行生效法律文书确定的义务，另一方当事人可以向人民法院申请强制执行。
- 操作步骤：您需要准备强制执行申请书、生效的判决书或裁定书原件及复印件、您的身份证明等材料，向作出判决的法院提交强制执行申请。法院在受理申请后，会依法对被执行人采取相应的强制措施，如查封、扣押、冻结财产，或者对其采取罚款、拘留等措施，以促使其履行义务。
要求法院公告执行结果：
- 特殊情况处理：如果对方拒不道歉或恢复名誉，且无法通过直接强制执行实现这一目的（因为道歉和恢复名誉往往涉及个人行为，难以直接强制），您可以要求法院将判决结果及对方拒不执行的情况在公开媒体上进行公告。
- 效果：这种方式可以在一定程度上弥补您因对方不履行义务而遭受的名誉损失，同时也能对对方形成一定的社会舆论压力，促使其主动履行义务。
追究对方拒不执行判决、裁定的法律责任：
- 法律依据：根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，对人民法院的判决、裁定有能力执行而拒不执行，情节严重的，构成拒不执行判决、裁定罪，可以处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金。
- 操作建议：如果您认为对方的行为已经构成了拒不执行判决、裁定罪，您可以向公安机关报案，要求追究其刑事责任。公安机关在立案侦查后，如果认为证据充分，会将案件移送检察机关审查起诉，最终由法院进行审判。
在采取上述措施时，您需要注意以下几点：
- 保留证据：确保您保存好所有与案件相关的证据材料，如判决书、裁定书、申请执行书、对方拒不执行的证据等，以便在申请强制执行或追究对方法律责任时使用。
- 及时行动：一旦发现对方拒不执行判决，您应尽快采取行动，向法院申请强制执行或追究对方法律责任，以免错过最佳时机。
- 咨询专业意见：在处理此类案件时，由于涉及法律程序和专业知识，建议您咨询专业律师的意见，以确保您的权益得到充分维护。
最后，如果对方仍然拒绝履行义务，您可以通过法律途径来维护自己的合法权益。如果您在此过程中有任何疑问或需要进一步的帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供详细的法律建议。