公司不签合同私下索赔是否非法，需分情况讨论：
公司不签合同本身违法
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，并应当订立书面劳动合同。若公司未与劳动者签订书面劳动合同，则违反了法律规定。
- 法律后果：公司可能面临向劳动者支付双倍工资的风险。具体来说，如果公司自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
私下索赔的合法性取决于索赔方式和内容
- 合法索赔：如果劳动者因公司未签订劳动合同而遭受了实际损失（如工资损失、社保损失等），劳动者有权通过合法途径（如劳动仲裁、诉讼等）向公司索赔。这种索赔是基于法律规定和劳动者实际损失的合理要求，是合法的。
- 非法索赔：如果劳动者以不正当手段（如威胁、恐吓、敲诈勒索等）向公司索赔，或者索赔的金额远超过其实际损失，甚至虚构损失进行索赔，那么这种行为就是非法的。它不仅可能损害公司的合法权益，还可能触犯刑法中的相关条款（如敲诈勒索罪）。
建议劳动者采取合法途径维权
- 如果劳动者因公司未签订劳动合同而遭受了损失，建议劳动者首先与公司进行协商，尝试通过友好方式解决问题。
- 如果协商无果，劳动者可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁，或者向人民法院提起诉讼，通过法律途径维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，劳动者应保留好相关证据（如工资条、工作证、考勤记录等），以便在需要时证明自己的主张。
总结来说，公司不签合同是违法的，但私下索赔的合法性取决于索赔方式和内容。劳动者应采取合法途径维权，避免采取非法手段进行索赔。如果你有任何具体的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。