没签正式合同的员工，公司并不能直接辞退。无论是否签订了书面劳动合同，只要双方实际上形成了劳动关系，公司在解除或终止劳动关系时都必须遵守相关法律法规，确保行为合法。以下是对此问题的详细分析：
一、未签劳动合同的法律后果
- 双倍工资责任：根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这是对公司未履行签订劳动合同义务的直接法律制裁。
- 视为无固定期限劳动合同：如果用人单位自用工之日起满一年仍未与劳动者订立书面劳动合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同，即公司需承担长期雇佣的责任。
- 事实劳动关系受法律保护：即使未签订书面劳动合同，但双方已形成事实劳动关系，这种关系同样受到法律的严格保护。
二、辞退员工的合法性
合法辞退情形：
- 员工严重违反公司规章制度（前提是规章制度合法合理且经过民主程序制定并向员工公示）；
- 员工严重失职给公司造成重大损害；
- 员工被依法追究刑事责任等《劳动合同法》规定的过错性辞退情形。
在这些情况下，公司无需支付经济补偿，但需确保辞退行为的合法性，如遵循法定程序、提供充分证据等。
违法辞退情形：若员工不存在上述过错情形，公司无正当理由随意辞退员工，则属于违法解除劳动关系。无论是否签订劳动合同，这种违法辞退行为都是不被法律允许的。
三、违法辞退的法律责任
- 赔偿金支付：根据《劳动合同法》的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿计算：经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，具体为：
- 每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；
- 六个月以上不满一年的，按一年计算；
- 不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
四、员工的维权途径
- 协商与仲裁：如果员工因公司未签劳动合同而被违法辞退，员工首先可以尝试与用人单位进行协商解决。协商不成时，员工可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。
- 诉讼与证据保留：在劳动仲裁未能解决争议的情况下，员工有权向法院提起诉讼来维护自己的合法权益。在维权过程中，员工应特别注意收集并保留好相关证据，如工资支付记录、工作证、考勤记录等，以证明劳动关系及辞退事实的存在。
五、建议与总结
为避免潜在的法律风险，建议公司：
- 及时与员工签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务；
- 在辞退员工时，务必确保行为符合法律规定的情形和程序；
- 如有任何疑问或争议，应及时咨询专业律师（即我本人）以获取法律帮助。
综上所述，没签正式合同的员工并不能被公司直接辞退。公司在处理员工关系时，必须严格遵守《劳动合同法》的相关规定，确保在合法的前提下进行员工的招聘、管理以及辞退等操作。否则，公司将面临严重的法律风险和赔偿责任。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。