结论：公司不签合同，也不能直接开除员工。公司解除与员工的劳动关系必须遵循法定条件和程序，否则将可能面临法律责任。

详细分析：

1. 未签订劳动合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》的规定，用人单位自用工之日起即与劳动者建立劳动关系，且应当自用工之日起一个月内与劳动者订立书面劳动合同。若未签订，用人单位需承担相应法律责任，如向劳动者支付双倍工资等。但这并不意味着公司可以随意开除员工。

2. 合法解除劳动关系的情形：

   • 即便未签订劳动合同，公司解除与员工的劳动关系也必须遵循法定条件和程序。这些情形包括但不限于：
     • 协商解除：公司与员工协商一致，可以解除劳动关系。
     • 过错性辞退：如员工在试用期间被证明不符合录用条件、严重违反公司规章制度、严重失职给公司造成重大损害等，公司可以解除劳动关系。
     • 无过失性辞退：如员工患病或非因工负伤医疗期满后不能从事原工作、不能胜任工作经过培训或调岗后仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化致使合同无法履行等，公司需提前三十日以书面形式通知员工或额外支付一个月工资后，可以解除劳动关系。
     • 经济性裁员：因经济性原因需要裁员时，公司需依照法定程序进行，并支付经济补偿金。

3. 违法解除劳动关系的后果：

   • 如果公司违反法律规定解除劳动关系，如没有任何合法理由随意辞退员工，将面临以下后果：
     • 继续履行合同：员工要求继续履行劳动合同的，公司应当继续履行。
     • 支付赔偿金：公司违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿按员工在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。

4. 针对未签订劳动合同的特殊情况：

   • 即便未签订劳动合同，公司也不能直接开除员工。相反，公司应首先与员工协商补签劳动合同或依法支付双倍工资等法律责任。若公司希望解除劳动关系，仍需遵循上述合法解除劳动关系的情形和程序。

建议与总结：

• 对于公司：应严格遵守《中华人民共和国劳动合同法》的规定，与员工签订书面劳动合同，并建立健全的内部管理制度。如需解除劳动关系，必须确保符合法定情形，并按照规定程序进行操作，以避免不必要的法律纠纷。
• 对于员工：若公司未签订劳动合同或违法解除劳动关系，员工有权通过法律途径维护自己的权益。建议员工在面临此类情况时，及时咨询专业律师（即我，时亚晴律师，专注于交通事故、劳动纠纷领域），了解自己的权益和维权途径。

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