针对您在厂里工作快三年，属第三方个体户且没有签订劳动合同被无故开除的情况，以下是我的详细分析：
未签订劳动合同的法律后果：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。您在厂里工作了快三年，但未签订劳动合同，因此，您有权要求用人单位支付这期间的双倍工资差额（扣除已支付的部分）。不过，需要注意的是，这一权利的行使可能受到诉讼时效的限制，通常为一年，从您知道或应当知道权利被侵害之日起计算。
无故开除的法律定性及赔偿：
- 用人单位无故开除员工，属于违法解除劳动合同的行为。根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条和第八十七条的规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 经济补偿的计算标准为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您有权要求用人单位支付相当于您六个月工资（因您工作快三年，按三年计算则为三个月工资的两倍）的赔偿金。
针对第三方个体户的特殊情况：
- 尽管您是在第三方个体户工作，但只要您与个体户之间形成了事实上的劳动关系（即您为个体户提供了劳动，并接受了其管理，个体户也支付了您劳动报酬），那么您就享有与正式员工相同的劳动权益。因此，上述关于未签订劳动合同和违法解除劳动合同的法律后果同样适用于您。
维权途径与建议：
- 协商：首先，您可以尝试与用人单位进行协商，看是否能够达成和解协议，要求用人单位支付您应得的赔偿和双倍工资差额。
- 投诉：如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉，请求他们介入调查并处理此事。
- 仲裁：如果投诉仍未解决问题，您可以向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位承担相应的法律责任。
- 诉讼：如果仲裁结果仍不能满足您的诉求，您还可以向人民法院提起诉讼，通过司法途径来维护自己的合法权益。
在维权过程中，您需要注意以下几点：
- 收集并保存好与用人单位存在劳动关系的证据，如工作证、工资条、考勤记录等。
- 了解并熟悉相关的法律法规，以便在维权过程中能够准确地引用法律条款来支持自己的诉求。
- 保持冷静和理性，避免与用人单位发生不必要的冲突和争执，以免影响维权效果。
如果您在维权过程中遇到任何困难或疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。