结论：在员工出交通事故被交警判全责且交强险不够赔偿的情况下，追究员工责任可从民事赔偿和内部管理责任两个角度进行，具体如下：

1. 民事赔偿责任角度

   • 法律依据：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条规定，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。用人单位承担侵权责任后，可以向有故意或者重大过失的工作人员追偿。在员工因交通事故被判全责的情况下，如果该事故是在执行工作任务过程中发生的，首先由用人单位（即员工所在单位）向受害方承担赔偿责任。若交强险不足以赔偿受害方的全部损失，用人单位需自行承担超出交强险赔偿限额部分的赔偿责任。
   • 追偿条件：用人单位在承担赔偿责任后，若员工存在故意或者重大过失行为导致交通事故发生，用人单位可以向员工进行追偿。例如，员工明知自己无驾驶资格、酒驾、毒驾、严重违反交通规则等行为仍驾驶车辆执行工作任务，这些行为可认定为存在故意或者重大过失。用人单位需要承担举证责任，证明员工存在上述故意或者重大过失的情形，才能成功向员工追偿。
   • 追偿范围：用人单位向员工追偿的范围一般为其向受害方实际支付的超出交强险赔偿限额部分的赔偿金额，但具体追偿比例可以根据员工的过错程度、用人单位的管理责任等因素进行合理确定。例如，如果员工过错程度较轻，用人单位自身也存在一定管理疏忽，那么追偿比例可能会相对较低；反之，如果员工过错严重，追偿比例可能会较高。

2. 内部管理责任角度

   • 规章制度处理：用人单位可以依据自身制定的内部规章制度对员工进行处理。如果用人单位的规章制度中明确规定了员工在执行工作任务过程中发生交通事故且被判全责的处理方式和责任承担，那么用人单位可以按照规章制度的规定对员工进行相应的处罚，如警告、罚款、降职、解除劳动合同等。但需要注意的是，用人单位的规章制度必须符合法律法规的规定，且经过民主程序制定并公示告知员工，否则可能因规章制度不合法而无法对员工产生约束力。
   • 劳动纪律处分：员工因交通事故被判全责的行为可能违反了用人单位的劳动纪律。用人单位可以根据《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，结合员工的过错程度和造成的后果，对员工进行相应的劳动纪律处分。例如，如果员工的行为给用人单位造成了重大损失或者严重影响了用人单位的正常生产经营秩序，用人单位可以依据法律规定解除与员工的劳动合同。但在解除劳动合同时，用人单位需要确保解除理由充分、程序合法，否则可能面临违法解除劳动合同的法律风险，需要向员工支付经济补偿金或者赔偿金。

建议：在处理此类问题时，用人单位应首先积极与受害方沟通协商赔偿事宜，确保受害方的合法权益得到及时保障。同时，及时收集和固定相关证据，如交通事故认定书、员工的工作记录、车辆使用情况等，以便在追究员工责任时能够提供有力的证据支持。如果对具体的法律程序和责任承担存在疑问，可以直接向我咨询。