结论：老板在您离职后要求您删除手机里所有顾客信息的行为，其合法性需分情况讨论，一般情况下，若该要求侵犯了您的合法权益或违反了相关法律规定，则您有权拒绝；若涉及商业秘密且您负有保密义务，则您可能需要配合删除。以下为详细分析：
一、从员工权益保护角度分析
个人隐私与数据保护：
- 您手机中的顾客信息，若包含顾客的联系方式、消费记录等个人隐私数据，根据《中华人民共和国个人信息保护法》的相关规定，这些信息受到法律保护。您作为这些信息的持有者（在合法获取的前提下），有义务保护这些信息不被非法泄露或滥用。但同时，您也有权自主决定如何处理这些信息，除非法律另有规定或您与美容院之间有明确的约定。
- 若老板的要求侵犯了您的个人隐私权或数据处理自主权，且没有合法依据，您有权拒绝删除这些信息。
劳动关系终止后的权益：
- 离职后，您与美容院之间的劳动关系已经终止。除非双方有特别的约定（如保密协议、竞业限制协议等），否则美容院无权对您离职后的行为进行过多干涉。
- 若老板的要求超出了合理范围，如要求您删除与工作无关的个人信息，或要求您采取非法手段删除信息（如破解他人设备、侵犯他人隐私等），则您有权拒绝并可能因此追究美容院的法律责任。
二、从商业秘密保护角度分析
商业秘密的定义与保护：
- 若顾客信息构成美容院的商业秘密（如顾客名单、消费习惯、偏好等具有商业价值且美容院采取了保密措施的信息），则根据《中华人民共和国反不正当竞争法》的相关规定，这些信息受到法律保护。
- 作为美容院的员工，若您在任职期间接触到了这些商业秘密，并负有保密义务，则在离职后仍需继续履行保密义务，不得泄露或非法使用这些信息。
删除信息的合理性：
- 若老板要求您删除的是构成商业秘密的顾客信息，且这一要求是为了防止信息泄露给竞争对手或用于其他非法目的，则这一要求在合理范围内。您作为负有保密义务的前员工，应当配合删除这些信息。
- 但若老板的要求超出了保护商业秘密的必要范围，如要求您删除所有与工作相关的信息（包括一些不构成商业秘密的普通信息），或要求您采取不合理的方式删除信息（如要求您破坏手机设备等），则您有权拒绝。
三、建议与行动指南
审查保密协议：
- 首先，回顾您与美容院签订的保密协议或劳动合同中的相关条款，了解您是否负有保密义务以及保密义务的具体范围。
评估信息性质：
- 评估您手机中的顾客信息是否构成商业秘密。若构成商业秘密，则您需考虑删除信息的合理性与必要性；若不构成商业秘密，则您有权自主决定是否删除。
与老板沟通：
- 在采取任何行动之前，建议与老板进行沟通，了解其要求的具体原因和目的。通过沟通，您可能能够找到一个双方都能接受的解决方案。
寻求法律帮助：
- 若您认为老板的要求侵犯了您的合法权益或违反了相关法律规定，且无法通过沟通解决争议，则建议您寻求法律帮助。您可以咨询专业律师（如我），了解您的权利和义务，并制定合适的应对策略。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。