在被告一方提出诉讼时效抗辩，而另一方未提出的情况下，法院会根据具体情形进行判决，核心在于判断诉讼时效是否确实已经届满，以及是否存在诉讼时效中断、中止等法定事由。具体分析如下：

1. 若诉讼时效确实已经届满，且无法定中断、中止事由：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一百八十八条，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年（法律另有规定的，依照其规定）。若被告提出诉讼时效抗辩，且法院审查后确认诉讼时效已经届满，同时原告无法提供证据证明存在诉讼时效中断（如提起诉讼、权利人主张权利等）或中止（如不可抗力、权利人丧失民事行为能力等）的法定事由，那么法院将依法驳回原告的诉讼请求。

2. 若诉讼时效未届满，或存在法定中断、中止事由：

   • 如果法院审查后认为诉讼时效尚未届满，或者原告能够提供充分证据证明存在诉讼时效中断或中止的法定事由，那么被告的诉讼时效抗辩将不被法院采纳。此时，法院将继续审理案件，并根据事实和法律作出判决，支持或驳回原告的诉讼请求。

3. 特殊情况下的处理：

   • 在某些特殊情况下，如当事人自愿履行义务后反悔的，或者义务人同意履行的，即使诉讼时效已经届满，法院也可能根据具体情况，结合公平原则和诚实信用原则，对案件进行灵活处理。但这种情况较为特殊，需要具体案件具体分析。

总结与建议：

• 对于原告而言，在提起诉讼前应仔细审查诉讼时效问题，确保自己的权利未因诉讼时效届满而丧失保护。
• 对于被告而言，若认为原告的诉讼请求已超过诉讼时效，应及时提出抗辩，并提供相关证据支持自己的主张。
• 无论原告还是被告，在诉讼过程中都应积极举证、质证，以维护自己的合法权益。

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