结论：孩子一岁后被公司辞退，是否有赔偿需根据辞退的具体原因和情况来判断。以下分情况详细说明：
合法辞退且无需支付赔偿的情况
- 员工存在过错：如果员工存在严重违反公司规章制度、严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等情形，公司可以依据《劳动合同法》第三十九条的规定，无需提前通知且无需支付经济补偿金即可辞退员工。这种情况下，即使孩子一岁，员工也无权要求公司支付赔偿。
- 员工不能胜任工作且经过培训或调岗后仍不能胜任：如果员工不能胜任工作，公司经过培训或者调整工作岗位，员工仍不能胜任工作的，公司可以提前三十日以书面形式通知员工本人或者额外支付员工一个月工资后，解除劳动合同。这种情况下，公司需支付经济补偿金，但并非赔偿金，且经济补偿金的计算依据是员工在公司的工作年限和月工资。
违法辞退需支付赔偿的情况
- 无合法理由辞退：如果公司没有合法理由，如员工不存在上述过错或不能胜任工作的情形，而单方面辞退员工，则构成违法解除劳动合同。根据《劳动合同法》第八十七条的规定，公司应当依照经济补偿标准的二倍向员工支付赔偿金。经济补偿标准按员工在公司工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向员工支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向员工支付半个月工资的经济补偿。
- 未履行法定程序辞退：即使公司有合法理由辞退员工，但如果未按照法定程序进行，如未提前三十日以书面形式通知员工或未支付代通知金等，也可能构成违法解除劳动合同，需要支付赔偿金。
特殊情况下的保护
- “三期”女职工的特殊保护：对于处于孕期、产期、哺乳期（即“三期”）的女职工，公司不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。如果公司违法解除与“三期”女职工的劳动合同，女职工有权要求公司继续履行劳动合同或者支付赔偿金。孩子一岁后，如果女职工仍处于哺乳期（通常哺乳期为一年），则仍享有这一特殊保护。
法律建议：
- 如果您被公司辞退，且认为公司的辞退行为违法或不合理，建议您首先与公司协商解决，要求公司支付应得的经济补偿金或赔偿金。
- 如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 在申请劳动仲裁前，建议您收集好相关证据，如劳动合同、工资单、辞退通知等，以便在仲裁过程中证明自己的主张。
可能后果：
- 如果公司违法辞退您且未支付赔偿金，您通过劳动仲裁或诉讼途径维权成功后，公司将需要支付您应得的赔偿金及可能产生的其他费用（如律师费、诉讼费等）。
- 如果公司合法辞退您且已支付经济补偿金，则您无权再要求公司支付赔偿金。
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