当行政机关超期不回复履职信时，您确实有权申请行政复议来维护自身的合法权益。以下是对此问题的详细解答：
一、法律依据
根据《中华人民共和国行政复议法》第六条的规定，公民、法人或者其他组织如果认为行政机关的具体行政行为（包括不作为）侵犯了其合法权益，都有权申请行政复议。行政机关超期答复，即未在规定期限内履行法定职责，这构成了对行政程序规定的违反，并可能侵害了相对人的合法权益，因此完全符合申请行政复议的条件。
二、适用情形
依申请的行政行为超期答复：
- 当您依法向行政机关提出申请，如行政许可、政府信息公开等，行政机关有明确的法定期限进行答复。若超过此期限未作出答复，您就可以申请行政复议。
- 举例来说，依据《中华人民共和国政府信息公开条例》，行政机关应在收到申请后20个工作日内答复，特殊情况可延长但最长不得超过40个工作日。如果超出这个期限行政机关仍未答复，您就有权申请行政复议。
有明确履职期限的行政职责超期未履行：
- 即使您没有主动申请，行政机关也需依据法律规定在一定期限内履行特定职责并答复。如果行政机关未按时完成，同样构成超期答复，您也有权申请行政复议。
- 例如，如果某地方规定行政机关需在7个工作日内对环境污染举报进行调查并反馈，若超时未答复，您作为举报人就可以申请行政复议。
三、申请行政复议的注意事项
明确复议机关：
- 如果您对县级以上地方各级人民政府工作部门的具体行政行为不服，可以向该部门的本级人民政府或上一级主管部门申请行政复议。
注意申请期限：
- 您需要自知道具体行政行为之日起六十日内提出行政复议申请，除非法律规定的申请期限超过六十日。如果因不可抗力或其他正当理由耽误了申请期限，那么申请期限会自障碍消除之日起继续计算。
准备相关证据：
- 在申请行政复议时，您需要明确指出行政机关超期答复的情况，并提供相关证据，如提交申请的记录、行政机关超期未答复的事实证明等。
四、总结
申请行政复议是公民、法人或其他组织在行政机关超期答复时维护自身合法权益的有效途径。通过明确法律依据、适用情形以及申请注意事项，您可以更有效地利用这一法律手段来寻求救济。如果您认为行政机关的行为违法或不当时，应及时考虑通过行政复议来维护自己的权益。