结论：履职申请书不回复，一般不可以直接诉讼而不经过复议程序，但存在例外情况。

分析说明：

1. 一般原则：

   • 在行政法律关系中，如果公民、法人或其他组织认为行政机关的具体行政行为侵犯了其合法权益，通常需要先通过行政复议这一途径来寻求救济。行政复议是一种行政机关内部的监督机制，旨在纠正违法的或不当的具体行政行为。
   • 如果对行政复议的结果不满意，或者行政复议机关在法定期限内未作出复议决定，那么申请人可以向人民法院提起行政诉讼。

2. 例外情况：

   • 法律、法规直接规定可以直接诉讼：在某些特定情况下，法律、法规可能直接规定，对于某些类型的行政行为，公民、法人或其他组织可以直接向人民法院提起行政诉讼，而无需先经过行政复议程序。这通常取决于具体法律、法规的特别规定。
   • 行政复议前置的例外：虽然大多数情况下行政复议是行政诉讼的前置程序，但也有一些例外。例如，如果行政机关在收到履职申请书后，明确表示拒绝履行或不予答复，且该行为直接侵犯了申请人的合法权益，申请人可能有权直接提起行政诉讼，尤其是在该行为不属于行政复议范围或行政复议机关明确表示不受理的情况下。然而，这种情况相对较少，且需要具体分析相关法律法规和案件事实。

3. 实际操作建议：

   • 查阅相关法律法规：在决定是否直接提起行政诉讼前，建议先查阅相关法律法规，了解对于该类型行政行为的具体救济途径和程序要求。
   • 咨询专业律师：由于行政法律关系复杂多变，且不同地区的司法实践可能存在差异，因此建议在做出决定前咨询专业律师，以获取更准确、更具体的法律建议。
   • 考虑行政复议：在大多数情况下，行政复议仍然是一个相对快速、有效的救济途径。如果对行政机关的不回复行为不满，可以先尝试通过行政复议来寻求解决。

后续行动建议：

• 如果您认为行政机关的不回复行为已经直接侵犯了您的合法权益，且符合法律、法规规定的直接诉讼条件，那么您可以考虑直接向人民法院提起行政诉讼。
• 在提起诉讼前，请确保您已经收集了充分的证据来支持您的主张，并了解了诉讼程序和相关要求。
• 如果您对诉讼程序或法律适用存在疑问，或者需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供专业、全面的法律建议。