结论：上班第一个月连续上了一个月，是否可以去劳动局（现劳动监察大队或劳动人事争议仲裁委员会）投诉或申请仲裁，需根据具体情况判断，主要看是否存在违反劳动法律法规的情形。以下从不同角度进行分析：

一、若存在加班且未支付加班费的情况

1. 法律背景：

   • 根据《劳动法》第四十一条，用人单位由于生产经营需要，经与工会和劳动者协商后可以延长工作时间，一般每日不得超过一小时；因特殊原因需要延长工作时间的，在保障劳动者身体健康的条件下延长工作时间每日不得超过三小时，但是每月不得超过三十六小时。
   • 《劳动法》第四十四条规定，有下列情形之一的，用人单位应当按照下列标准支付高于劳动者正常工作时间工资的工资报酬：（一）安排劳动者延长工作时间的，支付不低于工资的百分之一百五十的工资报酬；（二）休息日安排劳动者工作又不能安排补休的，支付不低于工资的百分之二百的工资报酬；（三）法定休假日安排劳动者工作的，支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。

2. 法律建议：

   • 如果您在第一个月连续上班的过程中，存在加班且用人单位未按照上述规定支付加班费的情况，您可以向当地劳动监察大队投诉，要求用人单位支付加班费及可能的赔偿金。
   • 您也可以向劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付加班费及赔偿金。

二、若存在未签订劳动合同的情况

1. 法律背景：

   • 根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
   • 《劳动合同法》第八十二条规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。

2. 法律建议：

   • 如果您在第一个月连续上班的过程中，用人单位未与您签订书面劳动合同，虽然此时可能还未达到支付双倍工资的条件（需超过一个月未签订），但您可以向劳动监察大队投诉，要求用人单位与您签订书面劳动合同。
   • 如果后续用人单位仍未与您签订劳动合同，且您继续工作超过一个月，您可以向劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁，要求用人单位支付未签订劳动合同的双倍工资差额。

三、若存在其他违反劳动法律法规的情形

• 法律背景：劳动法律法规涵盖了劳动关系的各个方面，包括但不限于工作时间、休息休假、工资支付、社会保险等。如果用人单位存在其他违反劳动法律法规的情形，如未依法为劳动者缴纳社会保险费、未提供劳动保护或劳动条件等，劳动者均有权向劳动监察大队投诉或向劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。

• 法律建议：

  • 如果您认为用人单位存在其他违反劳动法律法规的情形，且这些情形损害了您的合法权益，您可以收集相关证据（如工作记录、工资条、考勤记录等），向当地劳动监察大队投诉或向劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。

总结与进一步行动建议：

• 上班第一个月连续上了一个月，并不直接构成可以向劳动局投诉或申请仲裁的法定理由。关键在于是否存在违反劳动法律法规的情形。
• 如果您认为用人单位存在违反劳动法律法规的情形，建议您先收集相关证据，然后根据具体情况选择向劳动监察大队投诉或向劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。
• 在处理此类问题时，如果您感到困惑或不确定如何操作，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。