结论：手受伤请假后上班发现不能继续工作再请假，是否会被辞退不能一概而论，这取决于多种因素，包括公司的规章制度、员工受伤的性质和程度、以及请假流程是否合规等。以下从不同角度进行分析：
一、公司规章制度与请假流程
规章制度合规性：
- 根据《劳动合同法》及相关劳动法规，公司有权制定合理的规章制度来管理员工，包括请假制度。但这些制度必须合法、合规，不能侵犯员工的合法权益。
- 如果公司的规章制度中明确规定了请假流程，并且员工在请假时未按照流程进行，公司可能会根据规章制度对员工进行相应的处理。然而，这种处理并不等同于辞退，除非规章制度中明确规定了此类情况可以辞退。
请假流程合规性：
- 员工在请假时，应按照公司的规章制度进行申请，并提供必要的证明材料（如医疗证明）。如果员工因手受伤需要请假，应尽快向公司提交请假申请，并附上医疗证明等相关材料。
- 如果员工在请假后上班发现仍不能继续工作，应及时与公司沟通，说明情况，并按照公司的要求补充或重新提交请假申请。
二、员工受伤的性质和程度
工伤认定：
- 如果员工的手受伤是在工作过程中发生的，并且符合工伤认定的条件，那么员工有权享受工伤保险待遇，包括医疗期、停工留薪期等。
- 在工伤医疗期内，员工无需担心被辞退的问题，因为根据《劳动合同法》的规定，员工在工伤医疗期内，公司不得解除劳动合同。
非工伤情况：
- 如果员工的手受伤并非在工作过程中发生，或者不符合工伤认定的条件，那么员工需要按照公司的规章制度进行请假。
- 在这种情况下，如果员工能够提供合理的医疗证明，并且按照公司的要求进行请假，公司通常不会轻易辞退员工。但如果员工无法提供合理的证明或未按照公司要求进行请假，公司可能会根据规章制度对员工进行处理。
三、公司处理方式的合法性
辞退的合法性：
- 根据《劳动合同法》的规定，公司辞退员工必须符合法定的条件和程序。如果公司仅因员工请假而辞退员工，且该请假行为符合公司的规章制度和法律法规的规定，那么公司的辞退行为可能是违法的。
- 如果员工认为公司的辞退行为违法，可以向劳动争议调解委员会申请调解，或者向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，甚至向人民法院提起诉讼来维护自己的合法权益。
建议与措施：
- 员工在请假前应仔细阅读公司的规章制度，了解请假流程和要求。
- 在请假时，员工应提供必要的证明材料，并按照公司的要求进行申请。
- 如果员工在请假后上班发现仍不能继续工作，应及时与公司沟通，说明情况，并按照公司的要求补充或重新提交请假申请。
- 如果员工认为公司的处理方式不合法或不合理，可以寻求法律援助或咨询专业律师来维护自己的合法权益。
总结来说，手受伤请假后上班发现不能继续工作再请假是否会被辞退，取决于公司的规章制度、员工受伤的性质和程度以及请假流程是否合规等多种因素。如果员工能够按照公司的规章制度和法律法规的规定进行请假，并提供合理的医疗证明，那么通常不会被辞退。如果员工遇到公司违法辞退的情况，可以寻求法律援助或咨询专业律师来维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。