劳动仲裁终局裁决单位付款后，劳动者一般情况下不能直接上诉，但享有特定的救济途径，即可以直接向人民法院提起诉讼。以下是对此问题的详细分析：
一、劳动仲裁终局裁决的概述
根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动仲裁实行一裁终局制度。这意味着，裁决作出后，当事人就同一纠纷再申请仲裁或者向人民法院起诉的，仲裁委员会或者人民法院通常不予受理。这一制度旨在提高劳动争议处理的效率，避免诉讼程序的冗长和拖延。然而，这并不意味着劳动者在终局裁决后完全失去了寻求司法救济的机会。
二、劳动者的救济途径
提起诉讼的权利：
- 根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第四十八条，劳动者对本法第四十七条规定的仲裁裁决不服的，可以自收到仲裁裁决书之日起十五日内向人民法院提起诉讼。这一规定充分保障了劳动者的合法权益，使其能够通过司法途径进一步寻求公正的裁判。
- 在本案例中，即使单位已经付款，如果劳动者认为裁决存在不公或遗漏，仍然有权在法定期限内向人民法院提起诉讼。
诉讼的具体操作：
- 劳动者在提起诉讼时，需要准备充分的证据材料，以支持自己的诉讼请求。
- 诉讼过程中，法院将对劳动仲裁中的事实认定、法律应用及审理流程等进行严格审核，以确保公正、合法。
三、用人单位的救济途径与限制
一般情况下的限制：
- 终局裁决作出后，用人单位不能像一般民事诉讼那样直接提起上诉。这是为了提高劳动争议处理的效率，防止用人单位滥用诉权拖延时间。
特定情形下的撤销申请：
- 用人单位有证据证明终局裁决存在法定撤销情形（如适用法律、法规确有错误；劳动争议仲裁委员会无管辖权；违反法定程序；裁决所根据的证据是伪造的；对方当事人隐瞒了足以影响公正裁决的证据的；仲裁员在仲裁该案时有索贿受贿、徇私舞弊、枉法裁决行为的）之一的，可以自收到仲裁裁决书之日起三十日内向劳动争议仲裁委员会所在地的中级人民法院申请撤销裁决。
- 若劳动者已起诉且该起诉被法院驳回或劳动者撤诉后，用人单位才可向中级法院申请撤销仲裁裁决。
撤销后的处理：
- 人民法院经组成合议庭审查核实裁决有上述情形之一的，应当裁定撤销。
- 仲裁裁决被人民法院裁定撤销的，当事人可以自收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。
四、建议与总结
在具体操作中，建议劳动者根据自身情况选择合适的救济方式。如果认为终局裁决存在不公或遗漏，可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。同时，劳动者在劳动仲裁前应充分准备证据材料，以提高仲裁效率和胜诉率。如果劳动者在劳动仲裁终局裁决后遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询，我会根据具体情况提供详细的法律建议。