结论前置：在我国，劳动纠纷案件经过两审终审后，判决具有终局性法律效力，不能上诉。但如果当事人认为终审判决存在错误，可通过审判监督程序寻求救济，包括申请再审、检察院抗诉等方式，但需注意严格的条件限制和时间要求。
详细分析：
两审终审制与终审判决的终局性：
- 劳动纠纷案件在我国实行两审终审制。这意味着，案件经过一审法院审理后，如果当事人不服，可以上诉至二审法院。二审法院作出的判决即为终审判决，该判决具有终局性的法律效力，当事人不能再行上诉。这是为了保障司法效率，避免案件无限期地拖延下去。
审判监督程序作为纠错机制：
- 尽管终审判决具有终局性，但司法制度也提供了纠错机制，即审判监督程序。如果当事人认为终审判决存在错误，如新证据出现、原判决认定事实缺乏证据、主要证据伪造或未经质证、法院未调查收集关键证据、适用法律错误、审判组织不合法、剥夺辩论权利等，可以通过审判监督程序来寻求救济。
申请再审的条件与时间限制：
- 当事人申请再审需满足一定的法定情形。这些情形通常包括但不限于：有新的证据，足以推翻原判决、裁定的；原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的；审判人员审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的等。
- 申请再审应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。对于特定情形，如新证据、伪造证据、法律文书被撤销或变更等，自知道或应当知道之日起六个月内提出。这是为了保障司法程序的稳定性和效率，避免当事人无限期地拖延申请再审的时间。
审判监督程序的具体方式：
- 人民法院自行再审：法院在发现判决可能存在错误时，可主动启动再审程序进行纠正。这是一种自我纠错的机制，体现了司法机关对案件质量的负责态度。
- 上级人民法院指令再审或提审：上级法院认为下级法院判决存在错误时，可指令其再审或直接提审。这是上级法院对下级法院的一种监督机制，有助于确保司法公正和统一。
- 向人民检察院申请检察建议或抗诉：当事人可向检察院提出申请，检察院若认为符合抗诉条件，将依法启动抗诉程序，以纠正可能存在的错误裁判。这是检察机关对司法活动的一种法律监督方式，有助于维护司法公正和权威。
再审申请的审查与执行：
- 再审申请并不必然导致原判决停止执行。法院受理再审申请后，将进行审查。若认为不符合再审条件，将驳回再审申请。这是为了保障司法程序的稳定性和效率，避免因为再审申请而影响原判决的执行。
总结与建议：
劳动纠纷案件终审后虽不能上诉，但当事人仍有多种途径寻求救济。通过了解并正确运用审判监督程序，可以在法律框架内有效维护自身权益。同时，也应注意申请再审的条件、时间限制及程序要求，以确保救济途径的有效性和合法性。如果你认为终审判决存在错误，并希望申请再审或寻求其他救济途径，可以直接向我咨询，我将根据你的具体情况提供专业的法律建议。