三人私下签订的合伙协议，约定使用其中一人的公司名义进行经营，该协议在符合法定条件时具备法律效力。以下从不同角度进行详细分析：
协议具备法律效力的条件
主体适格：
- 合伙协议的三方当事人均需具备完全民事行为能力，能够独立承担民事责任。若其中一方或多方为限制民事行为能力人或无民事行为能力人，则协议可能因主体不适格而无效。
意思表示真实：
- 合伙协议必须是三方当事人真实意思的表示，不存在欺诈、胁迫、乘人之危等情形。若协议签订过程中存在上述情形，则协议可能因意思表示不真实而无效或可撤销。
内容合法：
- 合伙协议的内容不得违反法律、行政法规的强制性规定，不得违背公序良俗。例如，协议中不得约定非法经营、偷税漏税等违法内容。
形式合规：
- 虽然合伙协议并非必须采用书面形式，但为了明确各方权利义务，避免纠纷，建议采用书面形式签订。若采用口头形式，一旦发生纠纷，可能因证据不足而难以维护自身权益。
使用其中一人公司名义经营的法律考量
公司名义的合法使用：
- 使用其中一人的公司名义进行经营，需确保该行为得到公司股东会或董事会的授权，且不得损害公司及其他股东的利益。若未经授权或损害公司利益，可能构成对公司权益的侵害，引发法律纠纷。
责任承担：
- 在合伙经营过程中，若以公司名义对外签订合同或进行其他民事活动，产生的法律责任原则上由公司承担。但若存在滥用公司法人独立地位和股东有限责任，逃避债务，严重损害公司债权人利益的情形，则可能对公司债务承担连带责任。此外，若合伙协议中明确约定了责任承担方式，则按约定执行。
税务合规：
- 使用公司名义进行经营，需确保税务合规，依法纳税。若存在偷税漏税等违法行为，不仅可能面临税务机关的处罚，还可能影响公司的信誉和正常经营。
法律建议
签订书面合伙协议：
- 为明确各方权利义务，避免纠纷，建议三方签订书面合伙协议，并详细约定合伙事项、出资方式、利润分配、亏损承担、入伙退伙、解散清算等内容。
确保公司名义的合法使用：
- 在使用其中一人的公司名义进行经营前，应取得公司股东会或董事会的授权，并确保不损害公司及其他股东的利益。
遵守法律法规和税务规定：
- 在合伙经营过程中，应遵守相关法律法规和税务规定，确保合法经营、依法纳税。
寻求专业法律意见：
- 若对合伙协议的法律效力或使用公司名义经营的法律问题存在疑问，建议寻求专业律师的法律意见，以确保自身权益得到保障。
若您在合伙协议或公司经营方面遇到任何法律问题，可以直接向我咨询。