在公共场所拿刀威胁他人，公安机关立案后，会根据具体情况进行治安或刑事立案处理，并依法追究相关责任。以下从治安管理处罚和刑事犯罪两个角度进行详细分析：
一、治安管理处罚角度
根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定，写恐吓信或以其他方法威胁他人人身安全的行为，属于违法行为。具体到拿刀威胁他人的情况，即使没有造成实际伤害，也明显构成了威胁他人人身安全的行为，符合治安立案条件。公安机关可以依法对违法行为人进行以下处罚：
- 五日以下拘留或五百元以下罚款：对于情节较轻的拿刀威胁行为，公安机关可以处以五日以下拘留或五百元以下罚款。
- 五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款：若情节较重，如多次威胁、在公共场所威胁造成秩序混乱等，公安机关可以处以五日以上十日以下拘留，并可并处五百元以下罚款。
二、刑事犯罪角度
在刑事法律层面，单纯拿刀威胁人未造成实际伤害，通常不构成故意伤害罪等常见刑事犯罪。然而，在某些特殊情况下，这种行为仍可能涉及刑事犯罪：
抢劫罪（预备阶段）：
- 如果行为人拿刀威胁是为了实施抢劫等犯罪行为做准备，如通过威胁为后续的劫取财物创造条件，即使最终没有实际抢到财物或伤人，也可能以抢劫罪（犯罪预备）进行刑事立案。
寻衅滋事罪：
- 若拿刀威胁他人的行为破坏了社会秩序，情节恶劣，如多次威胁或在公共场所威胁造成秩序严重混乱，也可能构成寻衅滋事罪，从而被刑事立案。
其他相关罪名：
- 在某些极端情况下，如果威胁行为本身足以让受害者感到极度恐惧，认为自己的生命安全或身体健康受到实际威胁，且行为人的行为符合其他相关罪名的构成要件，如故意杀人罪（预备）或故意伤害罪（预备）等，公安机关也会依法进行刑事立案。
三、法律建议与后续行动
立即报案：
- 如果您或他人遭遇了被拿刀威胁的情况，应立即向公安机关报案，并提供详细的证据和情况说明，包括威胁发生的时间、地点、具体经过、威胁者的身份信息和可能的动机等。
保护自身安全：
- 在报案的同时，也应注意保护好自己的安全，避免再次受到威胁或伤害。如果可能的话，尽量远离威胁者，并寻求周围人的帮助。
配合调查：
- 报案后，应积极配合公安机关的调查工作，提供必要的协助和证据，以便公安机关能够更快地展开调查，并依法对犯罪嫌疑人进行处理。
总结来说，公共场所拿刀威胁他人是一种严重的违法行为，不仅可能面临治安管理处罚，还可能涉及刑事犯罪立案。因此，我强烈建议公众遵守法律法规，尊重他人的权利和尊严，避免采取任何形式的暴力或威胁行为。如果您有任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。