结论：员工受伤后不愿意私了，单位在符合一定条件下是可以提前支付医疗费的，但需谨慎操作并遵循相关法律规定。以下从不同角度进行分析：
一、单位提前支付医疗费的合法性及条件
合法性基础：
- 根据《工伤保险条例》及相关法律法规，员工因工作遭受事故伤害或患职业病进行治疗时，享受工伤医疗待遇。单位作为责任主体，有义务保障员工获得必要的医疗救治。
- 在员工不愿意私了的情况下，单位提前支付医疗费并不违反法律规定，反而体现了单位对员工权益的尊重和保障。
支付条件：
- 确认工伤事实：单位需确认员工受伤属于工伤范畴，这通常需要通过工伤认定程序来确定。在工伤认定结果出来之前，单位可以基于初步判断或员工提供的初步证据，决定是否提前支付医疗费。
- 员工同意或紧急情况：虽然员工不愿意私了，但如果员工同意单位提前支付医疗费，或者情况紧急（如员工生命垂危、急需救治等），单位可以先行支付。
- 保留相关证据：单位在提前支付医疗费时，应保留好支付凭证、员工受伤情况说明、医疗费用清单等相关证据，以备后续处理工伤事宜时使用。
二、单位提前支付医疗费的风险及防范
风险：
- 支付后工伤认定不成立：如果后续工伤认定结果出来，员工受伤不属于工伤范畴，那么单位提前支付的医疗费可能无法得到法律上的认可和支持，单位可能面临经济损失。
- 员工反悔或提出更高要求：员工在接受单位提前支付的医疗费后，可能反悔或提出更高的赔偿要求，导致双方产生纠纷。
防范措施：
- 签订协议：在提前支付医疗费前，单位可以与员工签订书面协议，明确支付的性质、金额、用途以及后续处理方式等，以减少纠纷发生的可能性。
- 及时申请工伤认定：单位应尽快为员工申请工伤认定，以便及时确定工伤事实，为后续处理提供法律依据。
- 咨询专业律师：在处理此类事务时，单位可以咨询专业律师的意见，确保操作合法合规，降低法律风险。
三、单位不提前支付医疗费的情况及应对
情况：
- 如果单位对员工受伤是否属于工伤存在疑虑，或者认为员工受伤与工作无关，那么单位可能不愿意提前支付医疗费。
- 另外，如果单位资金紧张或存在其他经济困难，也可能无法提前支付医疗费。
应对：
- 沟通协商：单位可以与员工进行沟通协商，解释不提前支付医疗费的原因和理由，争取员工的理解和支持。
- 引导员工申请工伤认定：单位可以引导员工自行申请工伤认定，以便及时确定工伤事实，为后续处理提供法律依据。
- 提供必要协助：在员工申请工伤认定或治疗过程中，单位可以提供必要的协助和支持，如提供相关证据、协助办理手续等。
总结与建议：员工受伤后不愿意私了，单位在符合一定条件下是可以提前支付医疗费的。但单位在操作过程中需谨慎行事，确保合法合规，并采取相应的防范措施以降低法律风险。如果单位对处理此类事务存在疑虑或困难，可以直接向我咨询，我将根据具体情况提供专业的法律意见和帮助。