结论：在劳动仲裁时，您是可以补充在解除劳动合同通知书上未写明的重要理由的，但需注意补充理由的合理性和与案件的关联性，同时要遵循劳动仲裁的程序和规则。
详细分析：
补充理由的合理性：
- 劳动仲裁的目的是为了公正、公平地解决劳动争议，保护劳动者的合法权益。如果您在邮寄解除劳动合同通知书时遗漏了重要理由，而在劳动仲裁时发现该理由对案件的裁决有重要影响，那么您有权在仲裁过程中提出该理由。
- 补充的理由应当是真实、合法、与案件直接相关的，且您需要能够提供相应的证据来支持该理由。例如，如果遗漏的理由是公司存在违法行为导致您解除劳动合同，那么您需要提供公司违法的相关证据。
与案件的关联性：
- 补充的理由必须与案件的核心争议点紧密相关。如果补充的理由与案件无关或对案件的裁决没有实质性影响，那么仲裁庭可能不会考虑该理由。
- 您需要清晰地阐述补充理由与案件之间的关联性，以及该理由如何影响案件的裁决。
遵循劳动仲裁的程序和规则：
- 在劳动仲裁过程中，您需要遵循仲裁庭的程序和规则。这包括在规定的时间内提交证据、陈述理由、参与庭审等。
- 如果您想在仲裁过程中补充理由，最好在仲裁庭允许的范围内进行，并提前与仲裁庭沟通确认。通常，您可以在提交答辩状或庭审过程中提出补充理由，但具体程序可能因地区和仲裁庭的不同而有所差异。
法律建议：
- 提前准备：在劳动仲裁前，尽量收集并整理好所有与案件相关的证据和理由，包括那些可能在解除劳动合同通知书上遗漏的重要理由。
- 及时沟通：如果您想在仲裁过程中补充理由，最好及时与仲裁庭沟通确认，了解具体的程序和要求。
- 专业协助：考虑到劳动仲裁的专业性和复杂性，如果您对法律程序或证据规则不熟悉，建议寻求专业律师的协助，以确保您的权益得到充分保护。
可能后果：
- 如果您能够合理、合法地补充理由，并提供相应的证据支持，那么该理由可能会被仲裁庭采纳，并对案件的裁决产生积极影响。
- 如果您补充的理由不合理、不合法或与案件无关，或者您无法提供相应的证据支持，那么仲裁庭可能不会考虑该理由，甚至可能对您的信誉和案件结果产生负面影响。
总之，在劳动仲裁时补充解除劳动合同通知书上遗漏的重要理由是可能的，但需要您谨慎处理，确保补充的理由合理、合法且与案件紧密相关。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。