结论：商家要求寄回死狗才退款是否合理，需根据具体情况判断。若商家售卖的狗本身存在健康问题或商家存在过错，其要求可能不合理；若商家无过错且合同中有相关约定，则其要求可能有一定合理性。以下从不同角度详细分析：
一、从合同角度分析
合同约定：
- 首先，需要查看您与商家之间的买卖合同或交易条款中是否有关于退货、退款以及宠物死亡处理的具体约定。
- 如果合同中明确规定了在宠物死亡的情况下，您需要寄回死狗作为退款的前提条件，且该条款不违反法律法规的强制性规定，那么商家的要求在合同层面可能是合理的。
合同履行与违约：
- 若商家售卖的狗本身存在健康问题，如疾病或先天缺陷，导致购买后短时间内死亡，这可能构成商家违约。
- 在此情况下，您有权要求商家承担违约责任，包括退款、赔偿损失等。商家要求寄回死狗可能不是合理的退款前提，除非合同中有特别约定且该约定不显失公平。
二、从消费者权益保护角度分析
消费者知情权：
- 商家在售卖宠物时，有义务向消费者提供真实、准确的宠物健康状况信息。
- 如果商家隐瞒了宠物的健康问题，导致您购买后宠物死亡，商家可能构成欺诈，您有权要求退款并可能获得额外赔偿。
消费者求偿权：
- 根据《消费者权益保护法》，消费者在购买商品或接受服务时，如果因商品或服务存在缺陷而遭受人身、财产损害，有权要求赔偿。
- 在您的情况下，如果宠物的死亡是由于商家的过错或商品（宠物）本身的问题导致的，您有权要求商家退款并赔偿相关损失。商家要求寄回死狗不应成为阻碍您行使求偿权的理由。
三、从实际操作与证据保留角度分析
保留证据：
- 在处理此类纠纷时，保留证据至关重要。您应保留购买凭证、与商家的聊天记录、宠物死亡时的照片和视频等证据。
- 如果可能，还可以联系兽医或动物检验机构对宠物进行尸检，以明确死亡原因，这有助于您在后续协商或诉讼中证明商家的过错。
协商与投诉：
- 在保留好证据后，您可以先尝试与商家协商解决纠纷。说明宠物死亡的情况，提供相关证据，并要求商家给出合理解释和解决方案。
- 如果协商无果，您可以向电商平台反映情况并寻求协助，或者向当地消费者协会投诉。在投诉时，详细说明购买过程、宠物死亡情况及与商家沟通经过，并提交相关证据。
四、特殊情况考虑
- 如果商家在售卖时明确告知了宠物的健康状况，且您在购买时已知悉并接受了这些状况，那么宠物的死亡可能不构成商家违约。在此情况下，商家要求寄回死狗作为退款的前提条件可能更为合理，但具体还需看合同中的约定。
建议：
- 在处理此类纠纷时，建议您保持冷静理性，避免情绪化表达导致矛盾升级。
- 尽可能收集并保留好相关证据，以便在后续协商或诉讼中证明自己的权益。
- 如果对法律程序不熟悉或感到困惑，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议。