核心结论：合同到期半年单位没提醒续签，您有多种处理方式，具体如下：

1. 主动与单位沟通续签事宜
   • 沟通目的：首先，您可以主动找单位的相关负责人，比如人力资源部门的工作人员，明确表达您希望续签合同的意愿。通过沟通，了解单位对于续签的态度和计划。有可能单位是因为疏忽或者内部流程问题而未提醒您续签，主动沟通可以及时解决这个问题，避免后续可能出现的纠纷。
   • 沟通内容：在沟通时，您可以提及原合同的主要条款，如工作岗位、薪资待遇、工作地点等，询问单位是否愿意按照原条件或者新的条件与您续签合同。同时，也可以了解单位对于续签合同的时间安排，以便您做好相应的准备。
2. 考虑是否继续留在单位及收集证据
   • 继续留任情况：如果您希望继续留在单位工作，在沟通续签事宜的同时，要注意收集能够证明您与单位存在事实劳动关系的证据。例如，工资发放记录、工作证、考勤记录、工作邮件往来等。因为在合同到期未续签但您继续工作的情况下，从合同到期次日起，单位与您之间形成的是事实劳动关系。如果后续单位出现拖欠工资、违法解除劳动关系等行为，这些证据将对您维护自己的合法权益至关重要。
   • 不继续留任情况：如果您经过考虑，决定不再继续留在该单位工作，同样要收集好相关证据。同时，您可以与单位协商结算工资、经济补偿等事宜。根据法律规定，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，合同到期终止固定期限劳动合同的，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
3. 向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁
   • 投诉情况：如果您与单位就续签合同、工资结算、经济补偿等问题无法达成一致意见，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门有权对用人单位的违法行为进行查处，并责令用人单位改正。您可以向劳动监察部门提供您收集到的相关证据，说明单位未提醒续签合同以及存在的其他问题，劳动监察部门将会依法进行调查处理。
   • 仲裁情况：如果投诉后问题仍未得到解决，或者您认为劳动监察部门的处理结果不符合您的预期，您还可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，您需要提交仲裁申请书、相关证据材料等。劳动争议仲裁委员会将会根据双方提供的证据和法律规定，作出公正的裁决。

温馨提示：在整个处理过程中，您要保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。如果您在处理过程中遇到任何疑问或困难，都可以随时向我咨询，我会为您提供详细的法律解答和帮助。