结论：公司无故开除签订六个月劳动合同的员工，应承担违法解除劳动合同的法律责任，具体包括支付赔偿金，并可能涉及工资、加班费、奖金等未支付款项的补发。
分析说明：
违法解除劳动合同的责任：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位违法解除劳动合同的，应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的标准通常按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，对于签订六个月劳动合同后无故被开除的员工，公司应支付一个月工资作为赔偿金（若按经济补偿标准计算为半个月，则赔偿金为一个月）。
工资、加班费、奖金等未支付款项的补发：
- 除了赔偿金外，公司还应补发员工在职期间未支付的工资、加班费、奖金等款项。这些款项是员工应得的劳动报酬，公司无权扣留或拒绝支付。
其他可能的法律责任：
- 如果公司的开除行为给员工造成了其他损失（如名誉损害、精神损失等），员工还可以根据实际情况要求公司承担相应的赔偿责任。不过，这类赔偿通常需要员工提供充分的证据来证明其损失的存在和程度。
行动建议：
- 与公司协商：首先，你可以尝试与公司进行协商，要求公司支付赔偿金和补发未支付的款项。如果公司同意，那么问题可以得到快速解决。
- 申请劳动仲裁：如果协商无果，你可以向当地的劳动仲裁机构申请劳动仲裁。在申请劳动仲裁时，你需要提供相关的证据材料（如劳动合同、工资单、开除通知等）来证明公司的违法行为和你的损失情况。
- 提起诉讼：如果对劳动仲裁结果不满意，你还可以向法院提起诉讼，要求公司承担相应的法律责任。在诉讼过程中，你需要遵循法院的诉讼程序和要求，提供充分的证据来支持你的主张。
后续注意事项：
- 在处理此类纠纷时，务必保留好所有相关的证据材料，以便在协商、仲裁或诉讼过程中使用。
- 如果你对法律程序不熟悉或感到困惑，可以寻求专业律师的帮助。作为专注于劳动纠纷领域的律师，我可以为你提供专业的法律咨询和代理服务。
如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。