关于无限期合同（无固定期限劳动合同）被开除的赔偿问题，结论前置如下：
- 若用人单位合法辞退且无需支付赔偿：当劳动者存在过错，如试用期间不符合录用条件、严重违反规章制度、严重失职等，用人单位可依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同且无需支付经济补偿。
- 若用人单位合法辞退但需支付经济补偿：包括协商一致解除、劳动者无过错但符合法定情形解除（如患病、不能胜任工作等）、经济性裁员等情形，用人单位需支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计算；不满六个月的支付半个月工资。对于月工资高于当地职工月平均工资三倍的劳动者，经济补偿标准有上限规定。
- 若用人单位违法辞退需支付赔偿金：若用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止无固定期限劳动合同，劳动者有权要求继续履行合同。若劳动者不要求继续履行或合同已无法继续履行，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
详细分析如下：
一、用人单位合法辞退且无需支付赔偿的情形
当劳动者存在以下过错时，用人单位可依据《劳动合同法》第三十九条解除劳动合同且无需支付经济补偿：
- 试用期间被证明不符合录用条件的；
- 严重违反用人单位的规章制度的；
- 严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
- 因欺诈、胁迫等手段使劳动合同无效的；
- 被依法追究刑事责任的。
二、用人单位合法辞退但需支付经济补偿的情形
协商一致解除：若用人单位与劳动者双方协商一致解除无固定期限劳动合同，用人单位需按照《劳动合同法》第四十六条的规定向劳动者支付经济补偿。
劳动者无过错但符合法定情形解除：
- 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
- 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
在这些情形下，用人单位在提前通知或额外支付一个月工资后，可解除劳动合同并支付经济补偿。
经济性裁员：用人单位因生产经营发生严重困难、转产、重大技术革新或者经营方式调整等法定情形需裁减人员时，也需支付经济补偿给被裁减的劳动者。
经济补偿标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资；六个月以上不满一年的按一年计算；不满六个月的支付半个月工资。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。若劳动者月工资高于用人单位所在直辖市、设区的市级人民政府公布的本地区上年度职工月平均工资三倍的，向其支付经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，向其支付经济补偿的年限最高不超过十二年。
三、用人单位违法辞退需支付赔偿金的情形
若用人单位违反《劳动合同法》规定解除或终止无固定期限劳动合同，劳动者有权要求继续履行合同。若劳动者不要求继续履行或合同已无法继续履行，用人单位需按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。赔偿金计算公式为：
\(赔偿金 = 经济补偿金 \times 2\)
其中，经济补偿金按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准计算。
举例说明：
假设某劳动者在用人单位工作了5年8个月，月工资为8000元，且不存在月工资超过当地职工月平均工资三倍的情况。那么，该劳动者在被非法开除时，应获得的赔偿金计算如下：
- 经济补偿金 = 工作年限 × 月工资 = 6个月 × 8000元/月 = 48000元（工作年限按6年计算，因为满半年不满一年按一年算）。
- 赔偿金 = 经济补偿金 × 2 = 48000元 × 2 = 96000元。
建议与总结：
面对无固定期限劳动合同被辞退的情况，劳动者应尽快明确辞退的合法性，并保留好劳动合同、工资单、辞退通知书等相关证据和文件。若用人单位存在违法辞退的情形，劳动者有权要求用人单位按照经济补偿标准的二倍支付赔偿金。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。