结论：在您描述的情况下，是否可以起诉建筑公司取决于多个因素，包括合同的具体条款、双方履行合同的情况以及是否存在违约行为等。若建筑公司未按合同约定支付剩余款项，且您已履行了合同中的主要义务（如提供服务或交付货物等，尽管发票未开），您通常有权起诉要求支付剩余款项。但具体还需结合合同内容和实际情况来判断。
分析说明：
合同条款的审查：
- 首先，需要仔细审查您与建筑公司签订的合同，特别是关于付款方式、付款时间、发票开具以及违约责任等条款。
- 如果合同中明确规定了建筑公司应在何时支付剩余款项，以及未按时支付应承担的违约责任，那么您将有更明确的法律依据来起诉。
双方履行合同的情况：
- 您提到只付了合同的一半款，且票没开给公司。这里需要明确的是，发票的开具通常是付款后的一个环节，但并非付款的前提条件（除非合同中有特别约定）。
- 如果您已经按照合同约定履行了主要义务（如完成了工程、提供了服务等），而建筑公司未按约定支付剩余款项，那么建筑公司可能构成违约。
违约行为的认定：
- 违约行为是指合同一方不履行合同义务或履行合同义务不符合约定的行为。
- 在您的情况下，如果建筑公司未按合同约定支付剩余款项，且没有合理的抗辩理由（如您未履行合同义务、存在质量问题等），那么建筑公司的行为可能构成违约。
起诉的可行性：
- 如果建筑公司构成违约，您通常有权根据合同约定或法律规定起诉要求建筑公司支付剩余款项，并可能要求支付违约金或赔偿损失。
- 但需要注意的是，起诉前应尽可能收集证据，如合同、付款记录、沟通记录等，以证明建筑公司的违约行为和您的损失。
行动建议：
- 收集证据：整理与建筑公司的合同、付款记录、沟通记录等证据，以证明您的主张。
- 咨询律师：虽然我可以为您提供一些基本的法律建议，但每个案件的具体情况都不同。因此，我建议您在起诉前咨询一位专业律师，以便更准确地评估您的案件和制定诉讼策略。
- 考虑和解或调解：在起诉前，您也可以考虑与建筑公司进行和解或调解，以达成一个双方都能接受的解决方案。这通常可以节省时间和成本，并避免不必要的法律纠纷。
后续思考：
- 在未来的合同签订中，建议您更加明确地约定付款方式、付款时间、发票开具以及违约责任等条款，以减少类似纠纷的发生。
- 如果建筑公司确实存在违约行为，且您决定起诉，那么请务必在诉讼时效内提起诉讼，以免丧失胜诉权。
如有任何进一步的问题或需要更具体的法律建议，请随时向我咨询。