结论：是否需要交原单位同意证明，主要取决于您与原单位的劳动关系状态以及新公立医院的具体招聘要求。以下分情况详细说明：

1. 若您已与原单位正式解除劳动关系：

   • 法律背景：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者有权解除劳动合同，且解除后与原单位的劳动关系即告终止。在此情况下，您无需再向原单位获取任何形式的同意或证明来应聘新工作。
   • 建议：您可以直接向新公立医院说明您已与原单位解除劳动关系，并提供相应的解除劳动合同证明（如离职证明、解除劳动合同通知书等），以证明您的劳动关系状态。若新公立医院仍坚持要求原单位同意证明，这可能涉及不合理的招聘条件，您可以与新公立医院沟通协商，或考虑向相关部门投诉。

2. 若您尚未与原单位解除劳动关系：

   • 法律背景：在劳动关系存续期间，劳动者通常需要遵守与原单位的劳动合同约定，包括但不限于竞业限制、保密义务等。若原单位的劳动合同或规章制度中明确规定了员工在离职前需获得单位同意才能应聘其他工作，则您可能需要遵守这一规定。
   • 建议：
     • 查看劳动合同和规章制度：首先，您应仔细查阅与原单位签订的劳动合同以及单位的规章制度，了解是否有关于离职前需获得单位同意的明确规定。
     • 与原单位沟通：若存在相关规定，建议您与原单位进行沟通，说明您的求职意愿和情况，争取获得原单位的同意。若原单位不同意，您可能需要考虑是否继续留在原单位工作，或寻找其他无需原单位同意的招聘机会。
     • 注意法律风险：若您未经原单位同意擅自离职并应聘新工作，可能会面临违反劳动合同或规章制度的风险，包括但不限于被原单位追究违约责任、影响个人信用记录等。

3. 关于新公立医院招聘要求的合理性：

   • 法律视角：新公立医院作为用人单位，在招聘过程中有权设定合理的招聘条件。然而，这些条件应当符合法律法规的规定，不得侵犯劳动者的合法权益。若新公立医院要求已解除劳动关系的劳动者提供原单位同意证明，这可能构成不合理的招聘条件。
   • 建议：若您认为新公立医院的招聘要求不合理或存在歧视性条款，您可以向相关部门（如劳动监察部门、卫生行政部门等）进行投诉或举报，以维护自己的合法权益。

进一步思考：在处理此类问题时，建议您保持冷静和理性，充分了解自己的法律权益和义务。若遇到复杂或难以解决的问题，不妨直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。